b) $5x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$

$⇔5x^2 + (4y - 2)x + (4y^2 - 4y - 7) = 0$

Để phương trình có nghiệm $x$, $\Delta'$ $\ge 0$:

$\Delta' = (2y - 1)^2 - 5(4y^2 - 4y - 7) \ge 0$

$\iff (4y^2 - 4y + 1) - (20y^2 - 20y - 35) \ge 0$

$\iff -16y^2 + 16y + 36 \ge 0$

$\iff 4y^2 - 4y - 9 \le 0$

$\iff (2y - 1)^2 - 10 \le 0 \iff (2y - 1)^2 \le 10$

Vì $y \in \mathbb{Z}$ nên $2y - 1$ là số lẻ và $(2y - 1)^2$ là số chính phương

$⇒(2y - 1)^2 \in \{1, 9\}$

$+)$ TH1: $(2y - 1)^2 = 1$

$\begin{bmatrix} 2y - 1 = 1 \\ 2y - 1 = -1 \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} y = 1 \\ y = 0 \end{bmatrix}$

$-)$ Với $y = 1 \implies \Delta' = -16(1)^2 + 16(1) + 36 = 36 = 6^2$ (thỏa mãn)

Thay $y = 1$ vào PT:

$5x^2 + 2x - 7 = 0 \iff (x - 1)(5x + 7) = 0 \implies x = 1$ (do $x \in \mathbb{Z}$)

$-)$ Với $y = 0 \implies \Delta' = 36 = 6^2$ (thoả mãn)

 Thay $y = 0$ vào PT:

$5x^2 - 2x - 7 = 0 \iff (x + 1)(5x - 7) = 0 \implies x = -1$ (do $x \in \mathbb{Z}$)

$+)$ TH2: $(2y - 1)^2 = 9$

$\begin{bmatrix} 2y - 1 = 3 \\ 2y - 1 = -3 \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} y = 2 \\ y = -1 \end{bmatrix}$

$-)$ Với $y = 2 \implies \Delta' = -16(4) + 16(2) + 36 = 4 = 2^2$ (thoả mãn)

Thay $y = 2$ vào PT:

$5x^2 + 6x + 1 = 0 \iff (x + 1)(5x + 1) = 0 \implies x = -1$

$-)$ Với $y = -1 \implies \Delta' = -16(1) + 16(-1) + 36 = 4 = 2^2$ (thoả mãn)

Thay $y = -1$ vào PT:

$5x^2 - 6x + 1 = 0 \iff (x - 1)(5x - 1) = 0 \implies x = 1$

Vậy $(x; y)$ thỏa mãn là $(1; 1)$, $(-1; 0)$, $(-1; 2)$, $(1; -1)$

c) $x^2 - 2xy + 2y^2 = x - 2y$

$⇔x^2 - (2y + 1)x + (2y^2 + 2y) = 0$

Để phương trình có nghiệm $x$, $\Delta$ phải không âm và là số chính phương với mọi $y \in \mathbb{Z}$:

$\Delta = (2y + 1)^2 - 4(1)(2y^2 + 2y)$

$\Delta = 4y^2 + 4y + 1 - 8y^2 - 8y = -4y^2 - 4y + 1$

Điều kiện để có nghiệm $x$:

$\Delta \ge 0 \iff -4y^2 - 4y + 1 \ge 0$

$\iff 4y^2 + 4y - 1 \le 0$

$\iff (2y + 1)^2 - 2 \le 0 \iff (2y + 1)^2 \le 2$

Vì $y \in \mathbb{Z}$ nên $(2y + 1)^2$ là số chính phương

$⇒(2y + 1)^2 \in \{0, 1\}$

Vì $2y + 1$ luôn là số lẻ với $y \in \mathbb{Z}$ $⇒$ $(2y + 1)^2 \neq 0$

$⇒$ $(2y + 1)^2 = 1$

$\begin{bmatrix} 2y + 1 = 1 \\ 2y + 1 = -1 \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} y = 0 \\ y = -1 \end{bmatrix}$

Thử lại:

$+)$ Với $y = 0$:

Thay vào PT:

$x^2 = x \iff x(x - 1) = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 1 \end{bmatrix}$ (thoả mãn)

$+)$ Với $y = -1$:

Thay vào PT:

$x^2 + 2x + 2 = x + 2 \iff x^2 + x = 0 \iff x(x + 1) = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = -1 \end{bmatrix}$ (thoả mãn)

Vậy $(x; y)$ thỏa mãn là $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(0; -1)$, $(-1; -1)$

d) $5x^2 + 8y^2 + 2xy - 3x - 18y + 10 = 0$

$⇔5x^2 + (2y - 3)x + (8y^2 - 18y + 10) = 0$

$\Delta = (2y - 3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (8y^2 - 18y + 10)$

$\Delta = (2y - 3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (8y^2 - 18y + 10)$

$\Delta = (4y^2 - 12y + 9) - 20(8y^2 - 18y + 10)$

$\Delta = 4y^2 - 12y + 9 - 160y^2 + 360y - 200$

Để phương trình có nghiệm $x$ thì $\Delta \ge 0$:

$-156y^2 + 348y - 191 \ge 0 \iff 156y^2 - 348y + 191 \le 0$

Xét hàm số $f(y) = 156y^2 - 348y + 191$:

Ta có:

$\Delta_y' = (-174)^2 - 156 \cdot 191 = 30276 - 29796 = 480 > 0$

Hai nghiệm của $f(y) = 0$ là:

$y_1 = \frac{174 - \sqrt{480}}{156} \approx \frac{174 - 21.9}{156} \approx 0,97$

$y_2 = \frac{174 + \sqrt{480}}{156} \approx \frac{174 + 21.9}{156} \approx 1,25$

Để $f(y) \le 0$ thì $y_1 \le y \le y_2 \implies 0,97 \le y \le 1,25$

Vì $y \in \mathbb{Z}$ nên $y = 1$

Thử $y = 1$ vào PT:

$5x^2 + 8(1)^2 + 2x(1) - 3x - 18(1) + 10 = 0$

$5x^2 + 8(1)^2 + 2x(1) - 3x - 18(1) + 10 = 0$

Vậy $(x; y) = (0; 1)$

@tuan789