Giải:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \perp BC$.

Bước 1: Tính các cạnh cơ bản

$BC = BH + CH = 3,6 + 6,4 = 10$ cm

Từ hệ thức lượng:

• $AB^2 = BH \cdot BC = 3,6 \times 10 = 36 \Rightarrow AB = 6$ cm
• $AC^2 = CH \cdot BC = 6,4 \times 10 = 64 \Rightarrow AC = 8$ cm
• $AH^2 = BH \cdot CH = 3,6 \times 6,4 = 23,04 \Rightarrow AH = 4,8$ cm

Bước 2: Tính vị trí các điểm M, N

$M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$: $$BM = \frac{BH^2}{AB} = \frac{3,6^2}{6} = \frac{12,96}{6} = 2,16 \text{ cm}$$

$N$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$: $$CN = \frac{CH^2}{AC} = \frac{6,4^2}{8} = \frac{40,96}{8} = 5,12 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính diện tích tứ giác BMNC

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2$$

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \times AM \times AN$$

với $AM = AB - BM = 6 - 2,16 = 3,84$ cm, $AN = AC - CN = 8 - 5,12 = 2,88$ cm

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \times 3,84 \times 2,88 = 5,5296 \text{ cm}^2$$

$$S_{BMNC} = S_{ABC} - S_{AMN} = 24 - 5,5296 = 18,4704 \approx 18,5 \text{ cm}^2$$

Đáp án: 18,5 cm²