Xét `1/(ab+a+3)=1/((ab+a+1)+2) <= 1/(3+2)^2 .(3^2/(ab+a+1)+2^2/2)`

`=> 1/(ab+a+3) <= 9/25 . 1/(ab+a+1)+6/25`

`=> sum 1/(ab+a+3) <= 9/25 . sum 1/(ab+a+1) +18/25`

Bổ đề: `abc =1 => sum 1/(ab+a+1) =1`
Áp dụng `=> sum 1/(ab+a+3)  <=3/5(đpcm)`

Dấu "`=`" xảy ra: `a=b=c=1`

_________________

Chứng minh bổ đề:

`sum 1/(ab+a+1)= 1/(ab+a+1) +a/(abc+ab+a) + (ab)/(a^2 bc +a^2 b^2 c+ab)`

`= 1/(ab+a+1) +a/(ab+a+1) +(ab)/(ab+a+1)`

`=1`