Vì đồ thị đối xứng qua \(Oy\), gọi \(C\left(x; e^{-x^2}\right)\) với \(x > 0\).

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\):

\(S=AD\cdot CD=2x\cdot e^{-x^{2}}\)

Đạo hàm:

\(S^{\prime }=(2x)^{\prime }\cdot e^{-x^{2}}+2x\cdot \left(e^{-x^{2}}\right)^{\prime }\)

\(S^{\prime }=2e^{-x^{2}}+2x\cdot (-2x)e^{-x^{2}}\)

\(S^{\prime }=2e^{-x^{2}}-4x^{2}e^{-x^{2}}=2e^{-x^{2}}(1-2x^{2})\)

Xét \(S' = 0\):

`2e^{-x^{2}}(1-2x^{2})=0\implies 1-2x^{2}=0\implies x^{2}=\frac{1}{2}\implies x=\frac{1}{\sqrt{2}}`

Vì \(S^{\prime }\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm `x = \frac{1}{\sqrt{2}}` nên diện tích đạt giá trị lớn nhất tại đây:

`S_{\max }=S(\frac{1}{\sqrt{2}})=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}=\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{e}}\approx 0,86`

Vậy GTLN của diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(0,86\)