Đặt \(BM = x\ (km; 0 \le x \le 10)\)\(\\\) Khi đó độ dài đoạn thẳng \(MA\) trên đất liền là:\(\\\) \(MA = 10-x\ (km)\)\(\\\) Xét tam giác \(CBM\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:\(\\\) \(CM = \sqrt{BC^2+BM^2} = \sqrt{4^2+x^2} = \sqrt{x^2+16}\ (km)\)\(\\\) Hàm số biểu thị tổng chi phí lắp đặt (triệu đồng) là:\(\\\) \(T(x) = 50\sqrt{x^2+16}+30(10-x)\)\(\\\) \(T'(x) = 50.\dfrac{(x^2+16)'}{2\sqrt{x^2+16}}-30 = \dfrac{50x}{\sqrt{x^2+16}}-30\)\(\\\) Xét \(T'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{50x}{\sqrt{x^2+16}} = 30\) \(\\\)\(\Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2+16}\\\Leftrightarrow 25x^2 = 9(x^2+16) \\\Leftrightarrow 16x^2 = 144 \\\Leftrightarrow x^2 = 9 \\\Leftrightarrow x = 3\)\(\\\) BBT:\(\\\) \(\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&3&&10\\ \hline T^{\prime }(x)&&-&0&+&\\ \hline &500&&&&10\sqrt{116}\\ T(x)&&\searrow &&\nearrow &\\ &&&460&&\\ \hline \end{array}\)\(\\\) Để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất thì hàm số \(T(x)\) phải đạt giá trị nhỏ nhất\(\\\) \(\Rightarrow T(x)_{min} = T(3) = 460\) tại \(x = 3\) \(\\\) Vậy khoảng cách \(BM\) là \(3\ km)\).