Ta luôn có bđt sau với `AA a,b,c` dương

`\sqrt {a^2+b^2} + \sqrt {a^2+c^2} < a + \sqrt {a^2+(b+c)^2}`

`<=> a^2+b^2 + a^2+c^2 + 2\sqrt {(a^2+b^2)(a^2+c^2) < a^2 + a^2+(b+c)^2 + 2a\sqrt {a^2+(b+c)^2}`

`<=> \sqrt {a^4 + a^2c^2 + a^2b^2 + b^2c^2} < bc + a\sqrt {a^2+(b+c)^2}`

`<=> a^4+a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2 < b^2c^2 + a^2[a^2+(b+c)^2] + 2abc\sqrt {a^2+(b+c)^2`

`<=>0 <2a^2bc +2abc\sqrt {a^2+(b+c)^2` (luôn đúng với `AA a,b,c` dương)

Quay trở lại bài toán

Kẻ đường thẳng qua `M` song song với `AD` cắt `AB, CD` lần lượt tại `N, P (N \in AB; P \in CD)`

Dễ dàng cm được `ANPD, BNPC` là các hcn

Khi đó ta có:`MN + MP = NP = AD; AN=DP`

Xét các `\triangle` vuông theo đlí pythagore ta được

`MA = \sqrt {NA^2 + MN^2}`

`MD = \sqrt {DP^2+MP^2} =\sqrt {AN^2 + MP^2}`

Áp dụng bổ đề trên với `a = AN; b=MN;c  =MP (b+c = AD)` ta có

`MA+MD < AN + \sqrt {AN^2 + AD^2} = AN + DN`

Tương tự ta được

`MB+MC < BN + \sqrt {BN^2+BC^2}=BN+NC`

`=> MA+MD+MB+MC < AN+DN+BN+NC =AB +ND +NC`

Lại áp dụng bổ đề trên, ta đc

`ND + NC<AD +\sqrt {AD^2 + BC^2} = AD+AC`

`=> MA+MB+MC+MD < AB+AD+AC`