$a)$ 

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$+)$ $AB^2 + AC^2 = BC^2$ $($Đlý Pytago$)$

$3^2 + 4^2 = BC^2$

$9 + 16 = BC^2$

$BC^2 = 25$

$BC = 5\text{ (cm)}$

$+)$  $S_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{AH \cdot BC}{2}$

$\Rightarrow AB \cdot AC = AH \cdot BC$

$3 \cdot 4 = AH \cdot 5$

$12 = AH \cdot 5$

$AH = \dfrac{12}{5}$

$AH = 2{,}4\text{ (cm)}$

Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ có:

$+)$ $HB^2 + AH^2 = AB^2$ $($Đlý Pytago$)$

$HB^2 + 2{,}4^2 = 3^2$

$HB^2 + 5{,}76 = 9$

$HB^2 = 9 - 5{,}76$

$HB^2 = 3{,}24$

$HB = 1{,}8\text{ (cm)}$

$+)$  $\sin \widehat{BAH} = \dfrac{HB}{AB} \quad \text{(TSLG)}$

$\sin \widehat{BAH} = \dfrac{1{,}8}{3}$

$\sin \widehat{BAH} = 0{,}6$

$\Rightarrow \widehat{BAH} \approx 37^\circ$

Vậy $BC = 5\text{ cm}$; $AH = 2{,}4\text{ cm}$; $HB = 1{,}8\text{ cm}$ và $\widehat{BAH} \approx 37^\circ$

 

$b)$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$; $AH$ là đường cao; $HE \perp AB \text{(gt)}$; $HF \perp AC \text{ (gt)}$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{AHB} = \widehat{AHC} = \widehat{HEA} = \widehat{HEB} = \widehat{HFA} = \widehat{HFC} = 90^\circ$

Xét $\triangle AEH$ và $\triangle HEB$ có:

+) $\widehat{AEH} = \widehat{HEB} = 90^\circ \text{(CMT)}$

+) $\widehat{EAH} = \widehat{EHB}$ $($vì cùng phụ với $\widehat{ABH}\text{)}$

$\Rightarrow \triangle AEH \sim \triangle HEB \text{ (g - g)}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{HE} = \dfrac{EH}{EB}$

$\Rightarrow AE \cdot BE = EH^2 \quad (1) \text{ (ĐPCM)}$

Xét $\triangle AFH$ và $\triangle HFC$ có:

+) $\widehat{AFH} = \widehat{HFC} = 90^\circ \text{ (CMT)}$

+) $\widehat{FAH} = \widehat{FHC}$ $($vì cùng phụ với $\widehat{ACH}\text{)}$

$\Rightarrow \triangle AFH \sim \triangle HFC \text{ (g - g)}$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{HF} = \dfrac{FH}{FC}$

$\Rightarrow AF \cdot FC = FH^2 \quad (2)$

Cộng vế với vế của $(1)$ và $(2)$ ta có:

$AE \cdot BE + AF \cdot FC = EH^2 + FH^2 \quad (3)$

Xét tứ giác $AEHF$ có:

+) $\widehat{EAF} = 90^\circ$ $(\text{CMT)}$

+) $\widehat{HEA} = 90^\circ$ $(\text{CMT)}$

+) $\widehat{HFA} = 90^\circ$ $(\text{CMT)}$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật $($DHNB$)$

$\Rightarrow \widehat{EHF} = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle EHF$ vuông tại $H$

Xét $\triangle EHF$ vuông tại $H$ có:

$EH^2 + FH^2 = EF^2$ $($Đlý Pytago$) \quad (4)$

Thay $(4)$ vào $(3)$

$\Rightarrow AE \cdot BE + AF \cdot FC = EF^2 \text{ (ĐPCM)}$

$\color{#FFB52E}{꧁}\color{#DAA520}{段}\color{#FFD700}{光}\color{#FFC928}{明}\color{#FFB52E}{꧂}$