a) Xét tứ giác ${ABDC}$ có:

${M}$ trung điểm ${BC}$ (gt)

${M}$ trung điểm ${AD}$ (${MA=MD}$)

⇒ Tứ giác ${ABDC}$ là hình bình hành.

Nếu $\widehat{BAC}$ = $90^{0}$ thì hình bình hành ${ABDC}$ là hình chữ nhật.

b) Vì ${ABDC}$ là hcn (a) nên ${AC=BD}$ ; ${AC//BD}$.

Vì ${E}$ đối xứng ${C}$ qua ${A}$ nên ${A}$ trung điểm ${EC}$.

⇒ ${AE=AC}$ ; ${E}$, ${A}$, ${C}$ thẳng hàng

Mà ${AE=BD}$ ; ${AE//BD}$ nên tứ giác ${ADBE}$ là hình bình hành.

c) Xét ${ΔEBC}$ có:

${BA}$ trung tuyến

${EM}$ trung tuyến

${K}$ giao điểm ${EM}$ ; ${AB}$

⇒ ${K}$ trọng tâm ${ΔEBC}$.

⇒ ${AK=\frac{1}{3}AB}$ ;  ${KB=\frac{2}{3}AB}$.

Vì ${ABDC}$ là hcn (b) nên ${AB//CD}$ ; ${AB=CD}$.

Xét ${ΔEIC}$ có:

${AK//CI}$

$\frac{CI}{AK}$ = $\frac{EC}{EA}$ (định lý Thalès)

Nếu ${A}$ trung điểm ${EC}$ (b) thì ${\frac{EC}{EA}=2}$.

⇒ ${CI=2AK}$.

Thay ${AK}$ vào ${CI}$, ta có:

${CI=2.\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB}$.

Vì ${IH⊥AB}$ ở ${H}$ ; ${AB//CD}$ (cmt) nên ${IH⊥CD}$ ở ${I}$.

Xét tứ giác ${AHIC}$ có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{HAC}=90^0\\\widehat{AHI}=90^0\\ \widehat{HIC}=90^0 \end{matrix}\right\}$

⇒ Tứ giác ${AHIC}$ là hcn.

⇒ ${AH=CI=\frac{2}{3}AB}$.

Giải:

${HB=AB-AH=AB-\frac{2}{3}-AB=\frac{1}{1}AB}$

${KH=AH-AK=\frac{2}{3}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AB}$

⇒ ${KH=HB=\frac{1}{3}AB}$ ; ${H}$ trung điểm ${KB}$.

Xét ${ΔIKB}$ có ${IH}$ đường cao.

⇒ ${ΔIKB}$ cân ở ${I}$.