Diện tích tấm bìa hình vuông màu đỏ là:

`S_(đ)=(p+q)^2\ (cm^2)`

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật màu xanh là:

`S_(x)=1*(3p+q)=3p+q\ (cm^2)`

Diện tích tấm bìa hình vuông mới là:

`S=S_(đ)+S_(x)=(p+q)^2+3p+q\ (cm^2)`

Gọi độ dài cạnh của tấm bìa hình vuông mới là `x\ (x\inNN, x>0)`

`=> (p+q)^2+3p+q=x^2\ (**)`

Do `p, q, x>0`

`=> (p+q)^2<x^2`

`<=> p+q<x\ (1)`
Mặt khác ta có:

`(p+q+2)^2=p^2+2pq+q^2+4p+4q+4>(p+q)^2+3p+q`

`=> (p+q+2)^2>x^2`

`<=> p+q+2>x\ (2)`

Từ `(1)(2)` và `p,q,x` đều là số nguyên dương

`=> x=p+q+1`

Thay `x=p+q+1` vào `(**)` ta được:

`(p+q)^2+3p+q=(p+q+1)^2`

`<=>p^2+2pq+q^2+3p+q=p^2+2pq+q^2+2p+2q+1`

`<=>3p+q=2p+2q+1`

`<=>p=q-1`

Mà `p, q` là số nguyên tố `=>p=2, q=3`

`=>` Diện tích tấm bìa hình vuông ban đầu là `S_(đ)=(p+q)^2=(2+3)^2=25\ (cm^2)`