Bổ đề: Mọi `triangleABC` nằm trong hình chữ nhật `MNPQ` có diện tích `S_0` đều thỏa mãn `S_(triangleABC) <= (S_0)/2`

Chứng minh:

`@` Nếu `A`, `B`, `C` thẳng hàng, `S_(ABC) = 0 <= (S_0)/2`

`@` Nếu `A`, `B`, `C` không thẳng hàng:

KMTTQ, giả sử hình chiếu của `B` lên `MN` nằm giữa hình chiếu của `A` và `C`

Qua `B` kẻ đường thẳng `"//"MQ, nn MN` tại `X,nnPQ` tại `Y` và `nnAC` tại `D`

Khi đó, `XY` chia `triangle ABC` thành `triangle ABD` và `triangle CBD` chung đáy `BD`

Gọi khoảng cách từ `A` và `C` đến `XY` lần lượt là `h_1,h_2`

Ta có:

`S_(ABC) = S_(ABD)+S_(CBD)= 1/2BDh_1+1/2BDh_2= 1/2BD(h_1+h_2)`

Vì `BD <= XY = MQ, h_1+h_2 <= MN`

`=> S_(ABC) <= 1/2MQ*MN = 1/2S_(MNPQ) = (S_0)/2`

Bổ đề được chứng minh hoàn toàn.

Áp dụng:

Chia hình vuông ban đầu thành `16` hình vuông nhỏ bằng nhau có cạnh `2 "cm"`

Diện tích của mỗi hình vuông nhỏ là: `S_0 = 4 ("cm"^2)`

Phân bố `33` điểm đã cho vào `16` hình vuông nhỏ này

Vì `33 = 2*16+1`

`=>` Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ chứa `>=3` điểm

Gọi ba điểm đó là `A,B,C`

Do `triangle ABC` nằm trong hình vuông nhỏ, áp dụng bổ đề đã CM trên ta có:

`S_(ABC) <= (S_0)/2 = 2 text(cm)^2`

 (đpcm)