$c)$ Điều kiện: $x + y \neq 0$

$\dfrac{x^2 + y^2}{x + y} = \dfrac{85}{13}$

$\Rightarrow 13(x^2 + y^2) = 85(x + y)$

Vì $x + y \neq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 > 0 \Rightarrow x + y > 0$

Vì $13(x^2 + y^2) \vdots 13$ và $\text{ƯCLN}(85; 13) = 1$ nên $(x + y) \vdots 13$

Ta có: $2(x^2 + y^2) \ge (x + y)^2$

$\Rightarrow 2 \cdot \dfrac{85(x + y)}{13} \ge (x + y)^2$

$\Rightarrow x + y \le \dfrac{170}{13}$

Vì $x + y > 0$ và $(x + y) \vdots 13$ nên $x + y = 13$

$\Rightarrow x^2 + y^2 = 85$

$\Rightarrow xy = \dfrac{(x + y)^2 - (x^2 + y^2)}{2} = \dfrac{13^2 - 85}{2} = 42$

$x, y$ là nghiệm của phương trình:

$t^2 - 13t + 42 = 0$

$(t - 6)(t - 7) = 0$

$\Rightarrow t = 6$ hoặc $t = 7$

Vậy $(x; y) \in \{(6; 7),(7; 6)\}$