Câu 3:

$a)$

Xét đường tròn $(\text{O})$ có $\text{OA} = \text{OB}$ nên tam giác $\text{OAB}$ cân tại $\text{O}$

Vì $\text{OM} \perp \text{AB}$ tại $\text{H}$ nên $\text{H}$ là trung điểm của $\text{AB}$

$\Rightarrow \text{MH}$ là đường trung trực của đoạn thẳng $\text{AB}$

$\Rightarrow \text{MA} = \text{MB}$

$\Rightarrow \Delta\text{MBA}$ cân tại $\text{M}$

Xét $\Delta\text{OAM}$ và $\Delta\text{OBM}$ có:

$\text{OA} = \text{OB}$

$\text{MA} = \text{MB}$

$\text{OM}$ là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta\text{OAM} = \Delta\text{OBM}$ $(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{\text{OBM}} = \widehat{\text{OAM}}$

Vì $\text{d}$ là tiếp tuyến của $(\text{O})$ tại $\text{A}$ nên $\text{OA} \perp \text{MA} \Rightarrow \widehat{\text{OAM}} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{\text{OBM}} = 90^\circ \Rightarrow \text{MB} \perp \text{OB}$ tại $\text{B}$

Mà $\text{B} \in (\text{O})$ nên $\text{MB}$ là tiếp tuyến của $(\text{O})$

$b)$

Tam giác $\text{OAM}$ vuông tại $\text{A}$, có đường cao $\text{AH}$

$\Rightarrow \text{MA}^2 = \text{MH} \cdot \text{MO}$

Vì $\text{AD}$ là đường kính của $(\text{O})$ và $\text{E} \in (\text{O})$ nên $\widehat{\text{AED}} = 90^\circ$

$\Rightarrow \text{AE} \perp \text{MD}$ tại $\text{E}$

Tam giác $\text{MAD}$ vuông tại $\text{A}$, có đường cao $\text{AE}$

$\Rightarrow \text{MA}^2 = \text{ME} \cdot \text{MD}$

Do đó: $\text{MH} \cdot \text{MO} = \text{ME} \cdot \text{MD}$

$\Rightarrow \dfrac{\text{MH}}{\text{MD}} = \dfrac{\text{ME}}{\text{MO}}$

Xét $\Delta\text{MHE}$ và $\Delta\text{MDO}$ có:

$\widehat{\text{DMO}}$ là góc chung

$\dfrac{\text{MH}}{\text{MD}} = \dfrac{\text{ME}}{\text{MO}}$

$\Rightarrow \Delta\text{MHE} \backsim \Delta\text{MDO}$ $(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{\text{EHM}} = \widehat{\text{ODM}}$