Nếu là số thực thì vô số nghiệm, đề phải là số nguyên.

"Tìm tất cả các số nguyên dương `a,b,c` thoả mãn đồng thời:

`1. quadquadquad (a-bsqrt2011)/(b-csqrt2011)` là số hữu tỉ

`2. quadquadquad a^2+b^2+c^2` là số nguyên tố"

Giải:

Đặt `q=(a-b sqrt(2011))/(b-c sqrt(2011))` `(q in QQ)`

Vì `b, c in ZZ^+,sqrt(2011) notin QQ=>b-c sqrt(2011) ne 0=> q` luôn xác định

Khi đó:

`a-b sqrt(2011)=q(b-c sqrt(2011)) <=> (a-qb)+(qc-b)sqrt(2011)=0`

Ta có `a, b, c, q in QQ, sqrt(2011)in mathbbI` nên đẳng thức xảy ra

`<=>{(a-qb=0), (qc-b=0):} => q=a/b=b/c => ac=b^2`

Đặt `S= a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+2b^2-b^2`

`= a^2+2ac+c^2-b^2=(a+c)^2-b^2=(a-b+c)(a+b+c)`

Lại có  `a, b, c in ZZ^+=>{(a+b+c >= 3),(S > 0):}`

`=>{(a-b+c in ZZ^+),(a-b+c<a+b+c):}`

`S` là số nguyên tố `<=>a-b+c=1 <=> a+c=b+1`

Từ `{(a+c=b+1),(ac=b^2):}`, xét:

`(a-c)^2=(a+c)^2-4ac= (b+1)^2-4b^2=(1-b)(3b+1)`

Vì `(a-c)^2, 3b+1 > 0=>1-b >= 0 <=> b <= 1`

Mà `b in ZZ^+=>b=1=>a=c=1`

Thử lại với `a=b=c=1`, ta có:

`@quad quad (1-sqrt(2011))/(1-sqrt(2011))=1 in QQ`

`@ quad quad a^2+b^2+c^2=3` là số nguyên tố (T/M)

Vậy `(a, b, c)=(1, 1, 1)`