Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

Tóm tắt:

$○ \Delta ABC$ vuông tại $A(AB <AC)$

$○ EA = EC = \dfrac{AC}{2}$

$○ EF \bot BC$ ($F \in BC$)

$○ AB = 8(cm)$

$ ○ \widehat{B} = 60^\circ$

__________________________________________

$a)$ Giải $\Delta ABC$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$+ Cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

$\rightarrow BC = \dfrac{AB}{Cos \widehat{ABC}} = \dfrac{8}{Cos 60^\circ} = 16(cm) $

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có

$+ Sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}$

$\rightarrow AC = BC.Sin \widehat{ABC} = 16. Sin 60^\circ = 8\sqrt{3}(cm) $

Ta có: $\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$b)$ Chứng minh $AC² = 2CF.BC$ và $AF = BE.Cos C$

Chứng minh $AC² = 2CF.BC$

Xét $\Delta CFE$ và $\Delta CAB$ có:

$+ \widehat{CFE} = \widehat{CAB} = 90^\circ$

$+ \widehat{C}$ chung.

Nên $\Delta CFE \backsim \Delta CAB (g.g)$

$\rightarrow \dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$

Nên $CF. CB = CE.CA$

Mà $CE = \dfrac{1}{2}CA$ ($E$ là trung điểm $CA$)

$\rightarrow CF.BC = \dfrac{1}{2}AC.AC = \dfrac{1}{2}AC² $

Nên $AC² = 2.CF.BC(đpcm)$

$------------------$

Chứng minh $AF = BE.Cos C$

Ta có: $\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$

$\rightarrow \dfrac{CE}{CF} = \dfrac{CB}{CA}$

Xét $\Delta CEB$ và $\Delta CFA$ có:

$+\dfrac{CE}{CF} = \dfrac{CB}{CA}(cmt)$

$+ \widehat{C}$ chung.

Nên $\Delta CEB \backsim \Delta CFA(c.g.c)$

$\rightarrow \dfrac{AF}{BE} = \dfrac{CA}{BC}$

Nên $AF = BE.\dfrac{CA}{BC}(1)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$+ Cos C = \dfrac{AC}{BC}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AF = BE.Cos C(đpcm)$