Câu `1:`

`(9sin^2 alpha - 6 sin alpha)^2 - (11 + 2P)(9sin^2 alpha - 6sin alpha) + P^2 + 11P - 80 = 0`

Đặt `t = 9sin^2 alpha - 6sin alpha`

`to t + 1 = 9sin^2 alpha - 6 sin alpha + 1 = (3sin alpha - 1)^2`

Ta có : `-1 le sin alpha le 1`

`to -4 le 3sin alpha le 2`

`to 0 le (3 sin alpha - 1)^2 le 16`

`to 0 le t + 1 le 16`

`to -1 le t le 15`

Khi đó phương trình trên trở thành:

`t^2 - (11 + 2P)t + P^2 + 11P - 80 = 0`

`\Delta = (2P + 11)^2 - 4(P^2 + 11P - 80) `

` = 4P^2 + 44P + 121 - 4P^2 - 44P + 320`

` = 441 > 0 to` phương trình có `2` nghiệm phân biệt

`t_{1} = (2P + 11 - sqrt{441})/2 = P - 5`

`t_{2} = (2P + 11 + sqrt{441})/2 = P + 16`

Ta có : `-1 le t le 15 to {(-1 le P - 5 le 15),(-1 le P + 16 le 15):}`

`to {(4 le P le 20),(-17 le P le -1):}`

`to P in [-17 ; -1] uu [4 ; 20]`

Mà `P_{0}` là số dương nhỏ nhất `to P = P_{0} = 4` 

Khi đó : `t_{1} = -1` (thỏa mãn) hoặc `t_{2} = 20` (không thỏa mãn)

`to 9sin^2 alpha - 6sin alpha = -1`

`to (3sin alpha - 1)^2 = 0 to sin alpha = 1/3`

`to cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha = 1 - (1/3)^2 = 8/9 ; tan^2 alpha = (sin^2 alpha)/(cos^2 alpha) = 1/8`

`to M = (2P_{0} + 8) . tan^2 a_{0} + 9P_{0} . cos^2 a_{0}`

` = (2 . 4 + 8) . 1/8 + 9 . 4 . 8/9 = 34`

Câu `2:`

`P = (sqrt{2})/(sin x) . sqrt{ 1/(1+cos x) + 1/(1 - cos x)} - 8/(tan x) + 3`

  ` = (sqrt{2})/(sin x) . sqrt{ (1 - cos  x + 1 + cos x)/((1-cos x)(1 + cos x))} - 8/(tan x) + 3`

  ` = (sqrt{2})/(sin x) . sqrt{ 2/(1 - cos^2 x)} - 8/(tan x) + 3`

  ` = (sqrt{2})/(sin x) . sqrt{ 2/(sin^2 x)} - 8/(tan x) + 3`

Vì `x in (0 ; pi/2) to sin x > 0`

`to P = (sqrt{2})/(sin x) . (sqrt{2})/(sin x) - 8/(tan x) + 3`

      ` = 2/(sin^2 x) - 8 . cot x + 3`

      ` = 2 . (cot^2 x + 1) - 8cot x + 3`

      ` = 2cot^2 x - 8cot x + 5 = 2(cot x - 2)^2 - 3 ge -3 AA x`

Dấu "=" xảy ra khi : `cot x = 2 to cot alpha = 2`

Ta có :

`B = (7 sin alpha - 7 cos alpha)/(sin^3 alpha + 3cos^3 alpha + 2sin alpha)`

Chia cả tử và mẫu cho `sin^3 alpha`

  ` = ( 7/(sin^2 alpha) - 7/(sin^2 alpha) . (cos alpha)/(sin alpha) )/(1 + 3 . ( (cos alpha)/(sin alpha) )^3 + 2/(sin^2 alpha))`

 ` = ( 7(cot^2 x + 1) - 7(cot^2 x + 1) . cot x)/(1 + 3cot^3 x + 2(1 + cot^2 x))`

 ` = ( 7(2^2 + 1) - 7(2^2+1) . 2)/(1 + 3 . 2^3 + 2(1 + 2^2))`

` = -1`

Câu `3:`

`(sin^4 alpha)/2 + (cos^4 alpha)/3 = 1/5`

`to (sin^4 alpha)/2 + ( (1 - sin^2 alpha)^2)/3 = 1/5`

`to (sin^4 alpha)/2 + (1 - 2sin^2 alpha + sin^4 alpha)/3 = 1/5`

`to 15sin^4 alpha + 10(1 - 2sin^2 alpha + sin^4 alpha) = 6`

`to 25 sin^4 alpha - 20sin^2 alpha + 10 = 6`

`to 25 sin^4 alpha - 20 sin^2 alpha + 4 = 0`

`to (5 sin^2 alpha - 2)^2 = 0 to 5sin^2 alpha - 2 =0`

`to sin^2 alpha = 2/5 ; cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha = 3/5`

`to 5A = 5 . ( (sin^8 alpha)/8 + (cos^8 alpha)/27)`

` = 5 . ( ( (sin^2 alpha)^4)/8 + ( (cos^2 alpha)^4)/27)`

` = 5 . ( ((2/5)^4)/8 + ((3/5)^4)/27)`

` = 5 . (2/625 + 3/625) = 1/25`