Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$

Vì $MA,MB$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau và $OA = OB$ nên $MO$ là đường trung trực của $AB$

$\rightarrow OM \bot AB$ tại $H$.

Ta có: $OH.OM = OA² = R²(1)$ (hệ thức lượng)

Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OKM$ có:

$+ \widehat{OHI} = \widehat{OKM} = 90^\circ$

$+ \widehat{HOM}$ chung.

Nên $\Delta OHI \backsim \Delta OKM(g.g)$

$\rightarrow \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{OH}{OK}$

Nên $OI.OK = OH.OM(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OI.OK =R²$

Mà $OK = 4OI (gt)$ nên $OI = \dfrac{OK}{4}$

$\rightarrow \dfrac{OK}{4}.OK = R²$

$\rightarrow OK² = 4R²$

$\rightarrow OK = 2R$

Vì điểm $C$ là giao điểm của đoạn thẳng $IK$ với đường tròn $(O)$ và đường thẳng $IK$ đi qua tâm $O$ nên $OC$ chính là bán kính của đường tròn $(O)$, tức là $OC = R$.

$\rightarrow$ $OK = 2OC$

$\rightarrow OC = \dfrac{1}{2}OK$

Nên $C$ là trung điểm $OK(đpcm)$.