$a)$ Ta có $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ $($góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BC)$$\\$ $\Rightarrow AB\perp AC$$\\$ Mà $DH\perp AB$ tại $H\ (gt)$$\\$ $\Rightarrow\widehat{AHD}=90^{\circ}$$\\$ Lại có $DK\perp AC$ tại $K\ (gt)$$\\$ $\Rightarrow\widehat{AKD}=90^{\circ}$$\\$ Xét tứ giác $AHDK$ có:$\\$ $\widehat{BAC}=\widehat{AHD}=\widehat{AKD}=90^{\circ}$$\\$ $\Rightarrow AHDK$ là hình chữ nhật$\\$ Mà $AD$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ $\\$ $\Rightarrow AHDK$ là hình vuông$\\$ $b)$ Vì $AHDK$ là hình vuông $(cmt)$$\\$ $\Rightarrow DH=DK$ $\\$ Do điểm $D$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ $\\$ $\Rightarrow DB=DC$$\\$ Xét $\Delta HBD$ vuông tại $H$ có:$\\$ $\Rightarrow\sin\widehat{HBD}=\dfrac{DH}{BD}$$\\$ Xét $\Delta KCD$ vuông tại $K$ có:$\\$ $\Rightarrow\sin\widehat{KCD}=\dfrac{DK}{CD}$$\\$ Mà $DH=DK;BD=CD$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{DH}{BD}=\dfrac{DK}{CD}$$\\$ $\Rightarrow\sin\widehat{HBD}=\sin\widehat{KCD}$$\\$ $\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KCD}$$\\$ $\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$$\\$ Xét tứ giác $ABDC$ có:$\\$ $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\ (cmt)$$\\$ Mà hai đỉnh $B$ và $C$ là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $AD$ dưới một góc bằng nhau$\\$ $\Rightarrow ABDC$ là tứ giác nội tiếp$\\$ $\Rightarrow A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn