$a)$ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=60^\circ$:$\\$ $\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}$$\\$ $\Rightarrow AB=BC.\cos\widehat{B}=6.\cos60^\circ=3(cm)$$\\$ $\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}$$\\$ $\Rightarrow AC=BC.\sin\widehat{B}=6.\sin60^\circ=3\sqrt{3}(cm)$$\\$ $b)$ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, áp dụng hệ thức lượng:$\\$ $\Rightarrow AB^2=HB.BC$$\\$ $\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{3^2}{6}=1,5(cm)$$\\$ $\Rightarrow HC=BC-HB=6-1,5=4,5(cm)$$\\$ $c)$ Xét $\Delta BCD$ cân tại $B$ do $DB=BC$:$\\$ $\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BDC}$$\\$ Vì $\widehat{ABC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của $\Delta BCD$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}+\widehat{BDC}=2\widehat{BCD}$$\\$ $\Rightarrow\widehat{BCD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$$\\$ Mà $\widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ $(\triangle ABC$ vuông tại $A)$$\\$ $\Rightarrow\widehat{ACB}=30^\circ$$\\$ $\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{ACB}=30^\circ$$\\$ Vì $CB$ là tia phân giác của $\widehat{ACD}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{CA}{CD}$ $\\$ $\Rightarrow\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}$$\\$ $d)$ Do $BE$ là tia phân giác $\widehat{CBD}$$\\$ Xét $\Delta CDB$ cân tại $B$ do $BC=BD$ có $BE$ là đường phân giác$\\$ $\Rightarrow BE$ đồng thời là đường cao của $\triangle CDB$$\\$ $\Rightarrow BE\perp CD$$\\$ Mà $AK\parallel BE$$\\$ $\Rightarrow AK\perp CD$ tại $K$$\\$ Xét $\Delta CAD$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường cao, áp dụng hệ thức lượng:$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AD^2}$$\\$ Mặt khác $ AK^2=KD.KC$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{KD.KC}=\dfrac{1}{AK^2}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{KD.KC}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AD^2}$