$a)$ Xét $\Delta APN$ vuông tại $A$ có:$\\$ $\widehat{P}=58^\circ$ (gt)$\\$ $\Rightarrow\widehat{N}=90^\circ-\widehat{P}=90^\circ-58^\circ=32^\circ$$\\$ Xét $\Delta APN$ vuông tại $A$$\\$ $\cos\widehat{APN}=\dfrac{AP}{PN}$$\\$ $\Rightarrow AP=PN.\cos\widehat{APN}=72.\cos58^\circ\approx38,15(cm)$$\\$ $\sin\widehat{APN}=\dfrac{AN}{PN}$$\\$ $\Rightarrow AN=PN.\sin\widehat{APN}=72.\sin58^\circ\approx61,06(cm)$$\\$ $b)$ Vì $ABCD$ là hình vuông (gt)$\\$ $\Rightarrow AB\parallel CD$$\\$ Mà $C,D,M$ thẳng hàng $\\$ $\Rightarrow AB\parallel CM$$\\$ Xét $\Delta ABN$ có $CM\parallel AB$, áp dụng định lý Thales:$\\$ $\Rightarrow\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{CN}{BN}$$\\$ Vì $ABCD$ là hình vuông$\\$ $\Rightarrow AD\parallel BC$$\\$ $\Rightarrow AD\parallel MC$$\\$ Xét $\Delta ADN$ có $MC\parallel AD$, áp dụng định lý Thales:$\\$ $\Rightarrow\dfrac{MN}{AN}=\dfrac{CN}{DN}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AN-AM}{AN}=\dfrac{DN-CD}{DN}$$\\$ $\Rightarrow1-\dfrac{AM}{AN}=1-\dfrac{CD}{DN}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{CD}{DN}$$\\$ Vì $ABCD$ là hình vuông $\\$ $\Rightarrow CD=AD$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AD}{DN}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AM^2}{AN^2}=\dfrac{AD^2}{DN^2}$$\\$ Xét $\Delta APN$ vuông tại $A$ có đường cao $AD$, áp dụng hệ thức lượng:$\\$ $\Rightarrow AD^2=PD.ND$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AM^2}{AN^2}=\dfrac{PD.ND}{DN^2}=\dfrac{PD}{DN}$$\\$ Mặt khác, xét $\Delta APN$ vuông tại $A$ có đường cao $AD$, áp dụng hệ thức lượng:$\\$ $\Rightarrow AP^2=PD.PN$$\\$ $\Rightarrow AN^2=ND.PN$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AP^2}{AN^2}=\dfrac{PD.PN}{ND.PN}=\dfrac{PD}{DN}$$\\$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AM^2}{AN^2}=\dfrac{AP^2}{AN^2}$$\\$ $\Rightarrow AM^2=AP^2$$\\$ $\Rightarrow AM=AP$$\\$ Xét $\Delta APM$ có$\\$ $AM=AP$ (cmt)$\\$ $\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{APM}$$\\$ $\Rightarrow\Delta APM$ cân tại $A$$\\$ $c)$ Xét $\Delta APK$ và $\Delta CPA$$\\$ $\widehat{APK}$ chung$\\$ $\widehat{PAK}=\widehat{PCA}=45^\circ$ $\\$ $\Rightarrow\Delta APK\sim\Delta CPA(g-g)$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{KP}{AP}$$\\$ $\Rightarrow AP^2=KP.CP$$\\$ $d)$ Có $\Delta APM$ cân tại $A$ (cmt $b)$)$\\$ $\Rightarrow AM=AP$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{AP^2}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}$$\\$ Xét $\Delta APN$ vuông tại $A$ có đường cao $AD$, áp dụng hệ thức lượng:$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AD^2}$$\\$ Vì $ABCD$ là hình vuông $\\$ $\Rightarrow AD=AB$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AB^2}$$\\$ $\Rightarrow\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AB^2}$