Bài 36.

`a.`

Ta có: `{(hat(BAE) + hat(DAE) = hat(BAD) = 90^o),(hat(DAF) + hat(DAE) = hat(FAE) = 90^o):}`

`=> hat(BAE) = hat(DAF)`

Xét `Delta ABE` vuông tại `B` và `Delta ADF` vuông tại `D`, ta có:

`AB = AD`

`hat(BAE) = hat(DAF)`

`=> Delta ABE = Delta ADF` (cgv - gnk)

`=> AE = AF`

`b.`

Tam giác `AEF` vuông cân tại `A` có `AI` là đường trung tuyến 

`=> AI` đồng thời là đường phân giác

`=> hat(FAK) = 1/2 hat(FAE) = 1/2 * 90^o = 45^o`

Vì `ABCD` là hình vuông nên `AC` là tia phân giác của `hat(BCD)`

`=> hat(FCA) = 45^o`

`=> hat(FAK) = hat(FCA) = 45^o`

Xét `Delta AKF` và `Delta CAF`, ta có:

`hat(AFC)` chung

`hat(FAK) = hat(FCA)`

`=> Delta AKF` $\backsim$ `Delta CAF` (g-g)

`=> (AF)/(CF) = (KF)/(AF)`

`=> AF^2 = KF CF`

`c.`

Ta có: `BC = AB = 4 (cm)`

`=> BE = 3/4 BC = 3/4 * 4 = 3 (cm)`

 Xét `Delta ABE` vuông tại `B`, theo định lí Pythagoreta có:

`AE^2 = AB^2 + BE^2 = 4^2 + 3^2 = 25`

`=> AE = 5 (cm)`

`=> AF = AE = 5 (cm)`

Diện tích `Delta AEF` là:

`S_(Delta AEF) = 1/2 AE AF = 1/2 * 5 * 5 = 25/2 = 12,5 (cm^2)`

`d.`

Xét `Delta AFM` vuông tại `A` có đường cao `AD`, ta có:

`1/(AF^2) + 1/(AM^2) = 1/(AD^2)`

Mà `AF = AE` nên `1/(AE^2) + 1/(AM^2) = 1/(AD^2)`

Vì hình vuông `ABCD` cố định nên `AD` có độ dài không đổi

Vậy `1/(AE^2) + 1/(AM^2)` không phụ thuộc vào vị trí của điểm `E`