Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

$a)$ Chứng minh $AE.AB = AF.AC$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$:

$\rightarrow AH² = AE.AB(1)$ (Hệ thức lượng)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$:

$\rightarrow AH² = AF.AC(2)$ (Hệ thức lượng)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AE.AB = AF.AC(đpcm)$

$b)$ Tính độ dài $AE$ và $BE$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HE$ là đường cao:

$+ AH² = AE.AB$

$\rightarrow AE = \dfrac{AH²}{AB}$

$\rightarrow AE = \dfrac{9}{4} = 2,25(cm)$ 

Ta có: $BE = AB - AE$

$\rightarrow BE = 4 - 2,25 = 1,75(cm)$

$c)$ Tính $FC$

Ta có: $Cos\widehat{HAF} = \dfrac{AF}{AH}$

$\rightarrow AF = Cos\widehat{HAF}.AH = Cos30^\circ.3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.3 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $AH² = AF.AC(cmt)$

$\rightarrow AC = \dfrac{AH²}{AF} = \dfrac{3²}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$

Ta có: $FC = AC - AF$

$\rightarrow FC = 2\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$