Gọi độ dài đoạn $MB$ là $x\ (0<x<10)$$\\$ Vì $\triangle ABC$ đều nên $\widehat{B}=60^{\circ}$$\\$ Xét $\Delta QMB$ vuông tại $M$ ta có:$\\$ $QM=MB.\tan60^{\circ}=x\sqrt{3}$$\\$ Do tính đối xứng nên $NC=MB=x$$\\$ $\Rightarrow MN=BC-2MB=20-2x$$\\$ Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là:$\\$ $S=MN.QM=(20-2x).x\sqrt{3}=2\sqrt{3}.(10-x).x$$\\$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:$\\$ $(10-x).x\le\left[\dfrac{(10-x)+x}{2}\right]^2=25\\\Rightarrow S_{max}\le2\sqrt{3}.25=50\sqrt{3}$$\\$ Dấu "=" xảy ra khi:$\\$ $10-x=x\\\Leftrightarrow2x=10\\\Leftrightarrow x=5\ (tm)$ $\\$ $\Rightarrow MB=5\ (cm)$