$a)$ Vì $ABCD$ là hình bình hành$\\$ $\Rightarrow AB=CD;AD=BC;\widehat{B}=\widehat{D}$$\\$ Vì $M,P$ là trung điểm của $AB,CD$$\\$ $\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}AB;DP=\dfrac{1}{2}CD$$\\$ $\Rightarrow BM=DP$$\\$ Vì $N,Q$ là trung điểm của $BC,DA$$\\$$\Rightarrow BN=\dfrac{1}{2}BC;DQ=\dfrac{1}{2}DA$$\\$ $\Rightarrow BN=DQ$$\\$ Xét $\triangle BMN$ và $\triangle DPQ$ có: $\\$$BM=DP$$\\$ $\widehat{B}=\widehat{D}$$\\$ $BN=DQ$$\\$ $\Rightarrow\triangle BMN=\triangle DPQ\ (c-g-c)$$\\$ $\Rightarrow MN=PQ$$\\$ $b)$ Vì $ABCD$ là hình bình hành$\\$$\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{C}$$\\$ Vì $M,P$ là trung điểm của $AB,CD$$\\$$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AB;CP=\dfrac{1}{2}CD$$\\$ $\Rightarrow AM=CP$$\\$ Vì $Q,N$ là trung điểm của $DA,BC$$\\$$\Rightarrow AQ=\dfrac{1}{2}DA$,$CN=\dfrac{1}{2}BC$$\\$ $\Rightarrow AQ=CN$$\\$ Xét $\triangle AMQ$ và $\triangle CPN$ có:$\\$ $AM=CP$$\\$ $\widehat{A}=\widehat{C}$$\\$ $AQ=CN$$\\$ $\Rightarrow\triangle AMQ=\triangle CPN\ (c-g-c)$$\\$ $\Rightarrow QM=PN$$\\$ Xét tứ giác $MNPQ$ có$\\$ $MN=PQ, QM=PN$ (cmt)$\\$ $\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.