Ta có $\sin A=\dfrac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$$\\$ $\Leftrightarrow\sin A=\dfrac{2.\sin\dfrac{B+C}{2}.\cos\dfrac{B-C}{2}}{2.\cos\dfrac{B+C}{2}.\cos\dfrac{B-C}{2}}$$\\$ $\Leftrightarrow\sin A=\dfrac{\sin\dfrac{B+C}{2}}{\cos\dfrac{B+C}{2}}=\tan\dfrac{B+C}{2}$$\\$ Mà $A+B+C=180^{\circ}$ nên $\dfrac{B+C}{2}=90^{\circ}-\dfrac{A}{2}$$\\$ $\Rightarrow\tan\dfrac{B+C}{2}=\cot\dfrac{A}{2}$$\\$ $\Rightarrow\sin A=\cot\dfrac{A}{2}$$\\$ Mà $\sin A=2.\sin\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{A}{2}$$\\$ $\Rightarrow2.\sin\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{\cos\dfrac{A}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}$$\\$ $\Leftrightarrow2.\sin^2\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{A}{2}=\cos\dfrac{A}{2}$$\\$ $\Leftrightarrow2.\sin^2\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{A}{2}-\cos\dfrac{A}{2}=0$$\\$ $\Leftrightarrow\cos\dfrac{A}{2}.\left(2.\sin^2\dfrac{A}{2}-1\right)=0$$\\$ Vì $0^{\circ}<A<180^{\circ}\Rightarrow0^{\circ}<\dfrac{A}{2}<90^{\circ}$$\\$$\Rightarrow\cos\dfrac{A}{2}>0$$\\$ $\Rightarrow2.\sin^2\dfrac{A}{2}-1=0$$\\$ $\Leftrightarrow1-2.\sin^2\dfrac{A}{2}=0$$\\$ $\Leftrightarrow\cos A=0$$\\$ $\Rightarrow A=90^\circ$$\\$ $\Rightarrow$ $\triangle ABC$ vuông tại $A$