$\begin{cases} 4xy + 4(x^2 + y^2) + \dfrac{3}{(x+y)^2} = 7 \quad (1) \\ 2x + \dfrac{1}{x+y} = 3 \quad (2) \end{cases}$ (ĐKXĐ: $x + y \ne 0$)

Từ $(1)$ ta có:

$4(x^2 + y^2) + 4xy = 3(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 3(x+y)^2 + (x-y)^2 (*)$ 

Thay $(*)$ vào $(1)$ ta có:

$3(x+y)^2 + (x-y)^2 + \dfrac{3}{(x+y)^2} = 7$

$3\left[(x+y)^2 + \dfrac{1}{(x+y)^2}\right] + (x-y)^2 = 7$

Từ $(2)$ ta có:

$2x + \dfrac{1}{x+y} = 3$

$\left[(x+y) + \dfrac{1}{x+y}\right] + (x-y) = 3$

Đặt $u = (x+y) + \dfrac{1}{x+y}$ và $v = x - y$. 

Ta có:

$u^2 = (x+y)^2 + \dfrac{1}{(x+y)^2} + 2$

$\Rightarrow (x+y)^2 + \dfrac{1}{(x+y)^2} = u^2 - 2$

Hệ phương trình ban đầu trở thành:

$\begin{cases} 3(u^2 - 2) + v^2 = 7 \\ u + v = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 3u^2 + v^2 = 13 \quad (3) \\ v = 3 - u \quad (4) \end{cases}$

Thay $(4)$ vào $(3)$ ta được:

$3u^2 + (3 - u)^2 = 13$

$3u^2 + 9 - 6u + u^2 = 13$

$4u^2 - 6u - 4 = 0$

$2u^2 - 3u - 2 = 0$

$2u^2 - 4u + u - 2 = 0$

$2u(u - 2) + (u - 2) = 0$

$(u - 2)(2u + 1) = 0$

$\text{TH1:}$ $u = 2$

Thay $u = 2$ vào $(4)$ ta có:

$v = 3 - 2$

$v = 1$

Từ $u = 2$, ta có:

$(x+y) + \dfrac{1}{x+y} = 2$

$(x+y)^2 - 2(x+y) + 1 = 0$

$(x+y - 1)^2 = 0$

$x + y = 1$ $(5)$

Từ $v = 1$, ta có:

$x - y = 1$ $(6)$ 

Từ $(5)$ và $(6)$ ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x = 2 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 1 \quad \text{(TMĐK)} \\ y = 0 \quad \text{(TMĐK)} \end{cases}$

$\text{TH2:}$ $u = -\dfrac{1}{2}$

Từ $u = -\dfrac{1}{2}$, ta có:

$(x+y) + \dfrac{1}{x+y} = -\dfrac{1}{2}$

$2(x+y)^2 + (x+y) + 2 = 0$

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15 < 0$ 

`=>` Pt vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 0)$

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$