$a)$ 

Xét tứ giác $BCOM$ có: $MO \parallel BC$ (do $MN \parallel BC$; $O \in MN$)

$\Rightarrow BCOM$ là hình thang $(\text{DHNB})$

Xét tứ giác $BCNO$ có: $ON \parallel BC$ (do $MN \parallel BC$; $O \in MN$)

$\Rightarrow BCNO$ là hình thang $(\text{DHNB})$

$b)$ 

Vì $MN \parallel BC$ $(\text{gt})$

$\Rightarrow \begin{cases} \widehat{MOB} = \widehat{OBC}\\\widehat{NOC} = \widehat{OCB}\end{cases}$ (`2` góc so le trong)

Xét $\triangle MOB$ có:

+ $\widehat{MBO} = \widehat{OBC}$ $($do $BO$ là tia phân giác của $\widehat{MBC}$$)$

+ $\widehat{MOB} = \widehat{OBC}$ $(\text{cmt})$

$\Rightarrow \widehat{MOB} = \widehat{MBO}$

$\Rightarrow \triangle MOB$ cân tại $M$

$\Rightarrow MO = MB \quad (1)$

Xét $\triangle NOC$ có:

+ $\widehat{NCO} = \widehat{OCB}$ (do $CO$ là tia phân giác của $\widehat{NCB}$)

+ $\widehat{NOC} = \widehat{OCB}$ $(\text{cmt})$

$\Rightarrow \widehat{NOC} = \widehat{NCO}$

$\Rightarrow \triangle NOC$ cân tại $N$

$\Rightarrow NO = NC \quad (2)$

Vì `O \in MN =>` $MN = MO + NO \quad (3)$

Thay $(1)$ và $(2)$ vào $(3)$

$\Rightarrow MN = MB + NC$ (đpcm)

`----------`

`***` Bạn có thể thay dấu `=>` (Suy ra) này thành các từ như: suy ra; vì vậy; cho nên; từ đó; bởi thế; hay; ... nhé 

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$