$a)$ Với $n = 0$, phương trình trở thành $x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0$$\\$ Ta có $\Delta' = (-m)^2 - 1.(2m - 1) = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 \geq 0\ \forall m$$\\$ $\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$$\\$ $b)$ Điều kiện để phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ là $\Delta \geq 0$$\\$ $\Rightarrow (2m - n)^2 - 4(2m + 3n - 1) \geq 0$$\\$ Theo định lý Vi-ét ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2m - n \\ x_1 x_2 = 2m + 3n - 1 \end{cases}$$\\$ Theo đề bài ta có $x_1 + x_2 = -1$$\\$ $\Rightarrow 2m - n = -1 \Rightarrow n = 2m + 1$$\\$ Theo đề bài ta có $x_1^2 + x_2^2 = 13$$\\$ $\Rightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 13$$\\$ $\Rightarrow (-1)^2 - 2(2m + 3n - 1) = 13$$\\$ $\Rightarrow 1 - 4m - 6n + 2 = 13$$\\$ $\Rightarrow -4m - 6n = 10 \Rightarrow 2m + 3n = -5$$\\$ Thay $n = 2m + 1$ vào biểu thức:$\\$ $2m + 3(2m + 1) = -5$$\\$ $\Rightarrow 2m + 6m + 3 = -5$$\\$ $\Rightarrow 8m = -8 \Rightarrow m = -1$$\\$ $\Rightarrow n = 2.(-1) + 1 = -1$$\\$ Thay $m = -1, n = -1$ vào điều kiện $\Delta$:$\\$ $[2.(-1) - (-1)]^2 - 4[2.(-1) + 3.(-1) - 1] = (-1)^2 - 4.(-6) = 1 + 24 = 25 > 0\ (tm)$$\\$ Vậy $m = -1$ và $n = -1$