Giải thích các bước giải:

Điều kiện: $x, y, z \neq 0$

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{6}{y} + \dfrac{6}{x} = 5 \\ \dfrac{12}{z} + \dfrac{12}{y} = 7 \\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{z} = 3 \end{array} \right.$

Đặt $\dfrac{1}{x} = a, \dfrac{1}{y} = b, \dfrac{1}{z} = c$, hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 6a + 6b = 5 \\ 12b + 12c = 7 \\ 4c + 4a = 3 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = \dfrac{5}{6} \\ b + c = \dfrac{7}{12} \\ c + a = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$

Cộng vế với vế ba phương trình trên, ta được:

$2(a + b + c) = \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{3}{4}$$\\2(a + b + c) = \dfrac{10}{12} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{26}{12} = \dfrac{13}{6}$$a + b + c = \dfrac{13}{12}$

Từ đó, ta tìm được từng ẩn:

$c = (a + b + c) - (a + b) = \dfrac{13}{12} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{13}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

$a = (a + b + c) - (b + c) = \dfrac{13}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

$b = (a + b + c) - (c + a) = \dfrac{13}{12} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{13}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2$

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow y = 3$

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow z = 4$

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $x, y, z \neq 0$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (2; 3; 4)$.