`a)` Xét `Delta ABC` vuông tại A, ta có:

`BC^2=AB^2+AC^2` (định lí Pythagore)

`BC^2=5^2+12^2=169`

`=> BC=sqrt(169)=13text( cm)`

`AH*BC=AB*AC` (hệ thức lượng)

`=> AH=(AB*AC)/(BC)=(5*12)/13=60/13text( cm)`

`sin hat(ABC)=(AC)/(BC)=12/13`

`=> hat(ABC) ~~ 67^@23'`

`b)`

Xét `Delta ABH` vuông tại H có `HD bot AB`, ta có:

`AH^2=AD*AB` (hệ thức lượng)

Xét `Delta ACH` vuông tại H có `HE bot AC`, ta có:

`AH^2=AE*AC` (hệ thức lượng)

`=> AD*AB=AE*AC`

`c)`

Trong `Delta ABG` vuông tại `A`, ta có: `sin hat(AGB)=(AB)/(BG)`

Trong `Delta ABC` vuông tại `A`, ta có: `cos hat(ABC)=(AB)/(BC)`

`=> sin hat(AGB)*cos hat(ABC)=(AB)/(BG)*(AB)/(BC)=(AB^2)/(BG*BC)`  `(1)`

Xét `Delta ABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`, ta có:

`AB^2=BH*BC` (hệ thức lượng)

Thay vào `(1)` ta được:

`sin hat(AGB)*cos hat(ABC)=(BH*BC)/(BG*BC)=(BH)/(BG)`  `(2)`

Xét `Delta ABG` vuông tại `A` có đường cao `AK`, ta có:

`AB^2=BK*BG` (hệ thức lượng)

`=> BH*BC=BK*BG`

`=> (BK)/(BC)=(BH)/(BG)`

Xét `Delta BKH` và `Delta BCG`, ta có:

`hat(CBG)` là góc chung

`(BK)/(BC)=(BH)/(BG)`

`=> Delta BKH ~ Delta BCG` `text((c.g.c))`

`=> (HK)/(CG)=(BH)/(BG)` `(3)`

Từ `(2)` và `(3)` suy ra `sin hat(AGB)*cos hat(ABC)=(HK)/(CG)`