Cho dãy số `(u_n):{(x_1=3),(x_(n+1)=(x_n^2+3)/x_n AA n in Z^+):}.` Tìm `lim u_n` nếu tồn tại. câu hỏi 8425103 - hoidap247.com

Question

Cho dãy số `(u_n):{(x_1=3),(x_(n+1)=(x_n^2+3)/x_n AA n in Z^+):}.` Tìm `lim u_n` nếu tồn tại.

harrykhtn · Answer

Theo đề, ta có: `(u_n):` $\begin{cases} x_1 = 3\x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 + 3}{x_n} = x_n + \dfrac{3}{x_n}, \forall n \in \mathbb{Z^+}\end{cases}$
Ta có: `u_{n+1} - u_n = 3/(u_n) > 0` (vì `u_n > 0`)
Do đó dãy `(u_n)` tăng ngặt
Giả sử dãy `(u_n)` bị chặn trên, vì `(u_n)` là dãy tăng ngặt và bị chặn trên nên theo định lí Weierstrass, dãy số có giới hạn hữu hạn là `L (L > 0)`
Lấy giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi `u_{n+1} = u_n + 3/(u_n)` khi `n -> +oo`
`L = L + 3/L  3/L = 0` (vô lý)
Do đó giả sử đặt ra là sai.
Vậy, `lim_{n -> +oo} u_n  = +oo`

missgrandinternational · Answer

Ta có $x_1 = 3 > 0$$\$ Giả sử $x_n > 0$$\$ $\Rightarrow x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 + 3}{x_n} = x_n + \dfrac{3}{x_n} > 0$$\$ $\Rightarrow x_n > 0\forall n \in \mathbb{Z}^+$$\$ Xét hiệu $x_{n+1} - x_n = \dfrac{3}{x_n} > 0$$\$ $\Rightarrow (x_n)$ là dãy số tăng$\$ Giả sử dãy số bị chặn trên$\$ $\Rightarrow$ Tồn tại $\lim x_n = L$ $(L > 3)$$\$ Chuyển qua giới hạn ta có $L = L + \dfrac{3}{L}$$\$ $\Rightarrow \dfrac{3}{L} = 0$ (Vô lý)$\$ $\Rightarrow$ Dãy số không bị chặn trên$\$ $\Rightarrow \lim x_n = +\infty$

Cho dãy số `(u_n):{(x_1=3),(x_(n+1)=(x_n^2+3)/x_n AA n in Z^+):}.` Tìm `lim u_n` nếu tồn tại.

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Cho dãy số `(u_n):{(x_1=3),(x_(n+1)=(x_n^2+3)/x_n AA n in Z^+):}.` Tìm `lim u_n` nếu tồn tại.

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?