Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

`{(x+m^2y=m+1.(1)),(m^2x+y=3-m.(2)):}`

Từ phương trình `(1),` ta có:

`x=m+1-m^2y` thế vào phương trình `(2),` ta được:

`m^2(m+1-m^2y)+y=3-m`

`m^3+m^2-m^4y+y-3+m=0`

`y(1-m^4)=3-m^3-m^2-m`

`y(1-m)(1+m)(1+m^2)=(1-m)(m^2+2m+3)`

`@` Với `m=1` thì `0=0`

`⇒` Hệ phương trình có vô số nghiệm.

`@` Với `m=-1` thì `0=4`(vô lý)

`⇒` Hệ phương trình vô nghiệm.

`@` Với `m\ne +-1,` ta có:

`y=(m^2+2m+3)/((m+1)(m^2+1))`

`⇒x=m+1-m^2. (m^2+2m+3)/((m+1)(m^2+1))`

`⇒x=((m+1)^2 (m^2+1)-m^2(m^2+2m+3))/((m+1)(m^2+1))`

`⇒x=((m^2+2m+1)(m^2+1)-m^4-2m^3-3m^2)/((m+1)(m^2+1))`

`⇒x=(m^4+2m^3+m^2+m^2+2m+1-m^4-2m^3-3m^2)/((m+1)(m^2+1))`

`⇒x=(-m^2+2m+1)/((m+1)(m^2+1))`

`⇒S=x+y=(-m^2+2m+1)/((m+1)(m^2+1))+(m^2+2m+3)/((m+1)(m^2+1))`

`=(-m^2+2m+1+m^2+2m+3)/((m+1)(m^2+1))`

`=(4m+4)/((m+1)(m^2+1))`

`=4/(m^2+1)`

Để `S_{max}` thì `4/(m^2+1)` max

`⇒m^2+1` max

Mà `m^2+1>=1` với `∀m∈R`

`⇒S>=4/1=4`

Dấu "`=`" xảy ra khi `m=0`

Vậy `S_{max}=4` khi `m=0`