Áp dụng theo kiến thức của lớp $7$

Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

$1)$ Chứng minh $AB // ND$ 

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta NED$ có:

$+$ $EA = EN$ ( $E$ là trung điểm của $AN$ )

$+$ $EB = ED$ ( $E$ là trung điểm của $BD$ )

$+$ $\widehat{AEB} = \widehat{NED}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\rightarrow \Delta AEB = \Delta NED (c.g.c)$

$\rightarrow \widehat{EAB} = \widehat{END}$ ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong.

Nên $AB // ND$

$2)$ Chứng minh $AD \bot NC$

Ta có: $\Delta AEB = \Delta NED (cmt)$

$\rightarrow AB = DN$ ( hai cạnh tương ứng) 

Mà $BC = 2AB (gt)$ nên $AB = \dfrac{BC}{2}$

Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $BD = DC =  \dfrac{BC}{2}$

$\rightarrow AB = BD = DC = ND$

Xét $\Delta BNC$ có đường trung tuyến $ND$ :

$+$ $ND = DB = DC$

$\rightarrow \Delta BNC$ vuông tại $N$.

$\rightarrow \widehat{BNC} = 90^\circ (1)$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta NEB$ có:

$+$ $EA = EN$ ( $E$ là trung điểm của $AN$ )

$+$ $ED = EB$ ( $E$ là trung điểm của $BD$ )

$+$ $\widehat{AED} = \widehat{NEB}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\rightarrow \Delta AED = \Delta NEB (c.g.c)$

$\rightarrow \widehat{EAD} = \widehat{ENB}$ ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong.

Nên $AD // NB (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AD \bot NC$.

$3)$ Chứng minh $FC - FE < AE$

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $NC$

Xét $\Delta NDH$ và $\Delta CDH$ có:

$+ \widehat{DHN} = \widehat{DHC} =90^\circ$

$+ DH$ là cạnh chung.

$+ DN = DC (cmt)$

$\rightarrow \Delta NDH = \Delta CDH (ch.cgv)$

$\rightarrow HN = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $\widehat{DHN} =90^\circ$ và $HN= HC(cmt)$ 

Nên $DH$ là đường trung trực của $NC$

Mà $A,F,D$ thẳng hàng nên $\Delta NFC$ cân tại $F$

$\rightarrow FN = FC$

Xét $\Delta EFN$ có: $FE + NE > FN$

Mà $FN = FC (cmt)$ và $NE = AE (gt)$

Nên $ FE + AE > FC$ 

$\rightarrow FC - FE > AE$

$☆ Note:$ Bao giờ trong một tam giác nếu hai cạnh cộng lại thì cũng lớn hơn cạnh còn lại.

Cho xin hn nha.