Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

$a)$ Tính $\widehat{ABC}$ và $AH$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

Cos $\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} \approx 53^\circ$ 

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$AC² = BC² - AB²$ ( định lý $Pythagore$ )

$AC² = 10² - 6²$

$AC² = 64$

$AC = \sqrt{64} = 8 (cm)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$AH.BC = AB.AC$ ( hệ thức lượng )

$AH = \dfrac{AB.AC}{BC}$

$AH = \dfrac{6.8}{10}$

$AH \approx 4,8 (cm)$

$b)$ Chứng minh $HD² = DA² = DE .DB$ và $DE = BD. Sin² \widehat{ABD}$

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có đường trung tuyến $HD$:

$\rightarrow HD = DA = DC(1)$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có:

$AD² = DE.DB(2)$ ( hệ thức lượng )

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $HD² = AD² = DE.BC$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có:

$Sin \widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD}$

$\rightarrow$ $Sin² \widehat{ABD} = (\dfrac{AD}{BD})² (3)$

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra  $Sin² \widehat{ABD} = \dfrac{DE.DB}{BD²} = $\dfrac{DE}{DB}(đpcm)$