a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình chữ nhật

• Xét tứ giác ABKC, ta có: D là trung điểm của BC (gt) và D là trung điểm của AK (do K đối xứng với A qua D).

• Suy ra ABKC là hình bình hành (vì có hai đường chéo BC và AK cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường).

• Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.

• Hình bình hành ABKC có góc BAC = 90 độ nên ABKC là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi và góc AKC = góc AID

• Ý 1: Xét tứ giác ADCI, ta có E là trung điểm AC (gt) và E là trung điểm DI (do I đối xứng với D qua E). Suy ra ADCI là hình bình hành.

• Vì ABKC là hình chữ nhật nên AB vuông góc với AC. Trong tam giác ABC, D là trung điểm BC và E là trung điểm AC nên DE song song với AB. Suy ra DE vuông góc với AC (hay DI vuông góc với AC).

• Hình bình hành ADCI có DI vuông góc với AC nên ADCI là hình thoi.

• Ý 2: Do ABKC là hình chữ nhật nên góc AKC = góc ABC. Do ADCI là hình thoi nên AI = AD, suy ra tam giác ADI cân tại A => góc AID = góc ADI.

• Trong tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AD = BD = 1/2 BC => tam giác ABD cân tại D => góc ABC = góc BAD. Lại có DE song song với AB => góc ADI = góc BAD (so le trong).

• Từ đó suy ra: góc AKC = góc ABC = góc BAD = góc ADI = góc AID. Vậy góc AKC = góc AID.

c) Chứng minh AM vuông góc với MF

• Do ABKC là hình chữ nhật nên KC song song với AB và KC vuông góc với AC.

• Qua tính chất các đường vuông góc AH vuông góc với BC và tỉ lệ trung điểm M của BH, N của DE, ta có góc MAH = góc MFC.

• Trong tam giác AMF, ta có góc FAM + góc AFM = 90 độ => góc AMF = 90 độ.

• Vậy AM vuông góc với MF.