*) Xét `(O)` có `M,A in (O)` nên `hat(OMA) = hat(OAM)` (5)

*) Chứng minh `hat(MAB) = hat(EMB)` (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến - dây cung cùng chắn một cung)

Ta có `hat(MAB) = 1/2 hat(MOB)` (góc nội tiếp - góc ở tâm cùng chắn cung `MB`) (1)

Vì `ME` là tiếp tuyến của `(O)` với `M` là tiếp điểm nên `hat(OME) = 90^o`

Ta có `hat(EMB) = hat(OME) - hat(OMB) = 90^o - hat(OMB)`

Xét `(O)` có `M,B in (O)` nên `OM = OB`, khi đó `triangle OMB` cân tại `O` nên `hat(OMB) = (180^o - hat(MOB))/2`

Khi đó: `hat(EMB) = 90^o - (180^o - hat(MOB))/2 = (hat(MOB))/2` (2)

Từ (1) và (2), suy ra `hat(MAB) = hat(EMB)` (6)

*) Chứng minh tứ giác `AMFO` là tứ giác nội tiếp, suy ra `hat(AMO) = hat(AFO)`

Xét `(O)` có `hat(AMB)` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên `hat(AMB) = 90^o`, khi đó `triangle AMF` vuông tại `M`

Ta có `triangle AMF` vuông tại `M` nên `triangle AMF` nội tiếp đường tròn đường kính `AF` (3)

Ta có `triangle AOF` vuông tại `O` nên `triangle AOF` nội tiếp đường tròn đường kính `AF` (4)

Từ (3) và (4), suy ra tứ giác `AMFO` là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác `AMFO` có `hat(AMO) = hat(AFO)` (hai góc nội tiếp chắn cung `AO`)

*) Chứng minh `hat(EFM) = hat(AMO)`

Xét `(O)` có `AB` là đường kính nên `O` là trung điểm `AB`, khi đó `FO` là đường trung tuyến của `triangle AFB`.

Đồng thời, ta có `FO bot AB` tại `O` nên `FO` là đường cao của `triangle AFB`.

Xét `triangle AFB` có `FO` vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên `triangle AFB` cân tại `F`

Khi đó `FO` cũng là đường phân giác của `triangle AFB` nên `hat(AFO) = hat(BFO)`

Đồng thời, `hat(EFM) = hat(BFO)` (hai góc đối đỉnh) nên `hat(EFM) = hat(AFO)`

Mà `hat(AMO) = hat(AFO)` (cmt) nên `hat(EFM) = hat(AMO)` (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra `hat(OAM) = hat(OMA) = hat(EMF) = hat(EFM)`

Xét `triangle OAM` và `triangle EMF` có `hat(OAM) = hat(EMF)` và `hat(OMA) = hat(EFM)`

Vậy, `triangle OAM` $\sim$ `triangle EMF` (g-g) (đpcm)