`a)`Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (gt)

`=>AM=(BC)/2`

Mà `M` là trung điểm của `BC` (gt)

`=>MC=(BC)/2`

`=>AM=MC`

`=>ΔAMC` cân tại `M`

`b)`Ta có `ΔAMC` cân tại `M` (câu `a`)

Mà `MO bot AC` tại `O` (gt)

`=>MO` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔAMC`

`=>O` là trung điểm của `AC`

Xét tứ giác `AMCN` có:

`O` là trung điểm của `AC` (cmt)

`O` là trung điểm của `MN` (gt)

`=>AMCN` là hình bình hành

Mà `AC bot MN` tại `O` (`MO bot AC`)

`=>AMCN` là hình thoi

`c)`Xét tứ giác `MCDN` có:

`I` là trung điểm của `MC` (gt)

`I` là trung điểm của `ND` (`IN = ID`)

`=>MCDN` là hình bình hành

`=>MD //// CN(1)`

Mà `AMCN` là hình thoi (câu `b`)

`=>AM //// CN(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>`Ba điểm `A, M, D` thẳng hàng(Tiên đề Euclid)

`d)`Để `M` là trực tâm của `ΔBND` thì `NM bot BD`

Ta có `MN bot AC` (`MO bot AC`)

Mà `MCDN` là hình bình hành (câu `c`) nên `AC //// BD` (`AC,BD bot MN`)

Xét tứ giác `ABDC` có:

`AC //// BD` (cmt)

`=>ABDC` là hình thang

Mà đường chéo `AD` cắt `BC` tại trung điểm `M` (câu `c`)

`=>ABDC` là hình bình hành

`=>AB //// CD` và `AB = CD`

Mà `MCDN` là hình bình hành (câu `c`) nên `CD //// MN` và `CD = MN`

`=>AB //// MN` và `AB = MN`

Để `NM bot BD` xảy ra mà `AB //// MN`

`=>AB bot BD`

`=>hat(ABD)=90^@`

Khi đó hình bình hành `ABDC` có `hat(ABD)=90^@` nên `ABDC` là hình chữ nhật

`=>AC = BD` và `AB = CD = MN`

Xét `ΔBND` có `NM` vừa là đường cao (`NM bot BD`) vừa là đường trung tuyến (`BM = MD` vì `ABDC` là hình chữ nhật)

`=>ΔBND` cân tại `N`

`=>hat(BDM)=hat(MBN)`

Vì `AC //// BD` nên `hat(MBD)=hat(ACB)`

Vì `AMCN` là hình thoi nên `hat(BDM)=hat(MAN)=2*hat(MAC)=2*hat(ACB)`

Ta có `hat(MBD)+hat(BDM)=90^@` (`ΔMBD` vuông tại `D`)

`=>hat(ACB)+2*hat(ACB)=90^@`

`=>3*hat(ACB)=90^@`

`=>hat(ACB)=30^@`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có `hat(ACB)=30^@=>hat(ABC)=90^@-30^@=60^@`

Vậy `ΔABC` cần thêm điều kiện góc `hat(ABC)=60^@` để `M` là trực tâm của `ΔBND`