2n³ - 2025n² + n

= n(2n² - 2025n + 1)

Chứng minh chia hết cho 6 thì trước hết cần chứng minh chia hết cho 2 và 3

Vì 2025 là số lẻ nên

 Nếu n chẵn cả biểu thức chẵn

Nếu n lẻ cả biểu thức lẻ ngoại trừ 2n³

Vậy biểu thức chia hết cho 2

Ta có:

2025 : 3 

nên 2n³ - 2025n² + n ≡ 2n³ + n (số dư là 3)

Mà 

n³ ≡ n (số dư là 3)

nên

2n³ - 2025n² + n ≡ 2n + n = 3n ≡ 0 (số dư là 3)

Do đó 

Biểu thức chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6

a) Ta thêm 6 vào vế:

xy + 2x + 3y + 6 = 16

(x + 3)(y + 2) = 16

Vì x,y ∈ Z, ta xét cặp ước 16

1 × 16 , 2 × 8 , 4 × 4

Và các cặp âm

Ta có

x+3:

1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,-1 ,-2 ,-4 ,-8 ,-16

lần lượt cặp với y+2: (1 trong x+3 cặp với 16 trong y + 2),...

16 , 8 , 4 , 2 , 1 , -16 , -8 , -4 , -2 , -1

suy ra

(x,y) = (-2,14) , (-1,6) , (1,2) , (5,0) , (13,-1) , (-4,-18) , (-5,10) , (-7,-6) , (-11,-4) , (-19,-3)