Vì đa thức `text{P}(x)` có ba nghiệm `m, n, p` và hệ số của `x^3` là `1` nên:

`text{P}(x) = (x - m) * (x - n) * (x - p)`

Ta có: `text{Q}(x) = text{P}(x^2 + 12x - 32)`

`= (x^2 + 12x - 32 - m) * (x^2 + 12x - 32 - n) * (x^2 + 12x - 32 - p)`

`= [(x^2 + 12x + 36) - 68 - m] * [(x^2 + 12x + 36) - 68 - n] * [(x^2 + 12x + 36) - 68 - p]`

`= [(x + 6)^2 - 68 - m] * [(x + 6)^2 - 68 - n] * [(x + 6)^2 - 68 - p]`

Phương trình `text{Q}(x) = 0` khi:

`(x + 6)^2 = m + 68` hoặc `(x + 6)^2 = n + 68` hoặc `(x + 6)^2 = p + 68`

Vì đa thức `text{Q}(x)` vô nghiệm và `(x + 6)^2 >= 0 AA x in RR` nên:

$\begin{cases} m + 68 < 0 \\ n + 68 < 0 \\ p + 68 < 0 \end{cases}$

$\begin{cases} m < -68 \\ n < -68 \\ p < -68 \end{cases}$

$\begin{cases} -m > 68 \\ -n > 68 \\ -p > 68 \end{cases}$

$\begin{cases} 1 - m > 69 > 0 \\ 1 - n > 69 > 0 \\ 1 - p > 69 > 0 \end{cases}$

Nhân theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:

`(1 - m) * (1 - n) * (1 - p) > 69^3`

Mà `text{P}(1) = (1 - m) * (1 - n) * (1 - p)`

Nên `text{P}(1) > 69^3`

Vậy `text{P}(1) > 69^3 (text{đpcm})`