$\text{Đáp án+Giải thích các bước giải:}$

$\text{a) Xét ΔAOD có OM là đường phân giác }$

$\text{Suy ra $\frac{AM}{DM}$ = $\frac{OA}{OD}$ }$

$\text{Tương tự với ΔBOC có ON là đường phân giác}$

$\text{Suy ra $\frac{BN}{CN}$ = $\frac{OB}{OC}$ }$

$\text{Mặt khác , theo bài ra ta có OA · OC = OB · OD}$}$

$\text{Nên $\frac{OA}{OD}$ = $\frac{OB}{OC}$  }$

$\text{Suy ra $\frac{AM}{DM}$ = $\frac{BN}{CN}$}$

$\text{Suy ra MN // AB // CD ( Định lí thalès đảo trong hình thang (1)) (đpcm)}$

$\text{b) Xét ΔAOB có OE là đường phân giác}$

$\text{Suy ra $\frac{AE}{BE}$ = $\frac{OA}{OB}$ }$

$\text{Tương tự chứng minh được : $\frac{OD}{OC}$ = $\frac{DF}{CF}$ }$

$\text{Mà OA · OC = OB · OD}$

$\text{Nên $\frac{OA}{OB}$ = $\frac{OD}{OC}$ }$

$\text{Suy ra $\frac{AE}{BE}$ = $\frac{DF}{CF}$ }$

$\text{Suy ra EF , AD , BC đôi một song song hoặc đồng quy ( Bổ đề hình thang )}$

$\text{ Chứng minh : }$

$\text{(1) : Hình thang ABCD  ( AB // CD ) có M ∈ AD ; N ∈ BC . Khi đó AB // MN // CD khi và chỉ khi $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BN}{NC}$ }$

$\text{-Giải- }$

$\text{Trường hợp 1 : AB // MN // CD}$

$\text{Gọi G là giao của MN và BD}$

$\text{Khi đó MG // AB suy ra $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BG}{GD}$ }$

$\text{Và GN // CD suy ra $\frac{BG}{GD}$ = $\frac{BN}{NC}$ }$

$\text{Suy ra đpcm}$

$\text{Trường hợp 2 : $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BN}{NC}$ }$

$\text{Qua M kẻ MN' // AB // CD ( N' ∈ BC ) }$

$\text{Tương tự trường hợp 1 ta được : $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BN'}{N'C}$ }$

$\text{Suy ra N ≡ N'}$

$\text{Hay MN // AB // CD}$