a) Xét $ΔABE$ và $ΔACF$, có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$

Chung $\widehat{CAB}$

$⇒ΔABE\backsimΔACF$

Xét tứ giác $BNCK$ có:

$NK$ cắt $BC$ tại trung điểm $M$ mỗi đường

$⇒BNCK$ là hình bình hành

$⇒\begin{cases}CK//BN\\BN=CK \end{cases}$

$⇒\widehat{ANE}=\widehat{AKC}$ (đồng vị)

Xét $ΔANE$ và $ΔAKC$, có:

$\widehat{ANE}=\widehat{AKC}$

Chung $\widehat{CAK}$

$⇒ΔANE\backsimΔAKC$

$⇒\frac{AN}{AK}=\frac{NE}{CK}$
Mà $BN=CK$

$⇒ \frac{AN}{AK}=\frac{NE}{NB}$

$⇔ AN.NB=AK.NE$

b) Gọi giao của $AN$ với $SE$ là $Q$

Xét $ΔAQE$ và $ΔAEN$, có:

$\widehat{AQE}=\widehat{AEN}=90^o$

Chung $\widehat{NAE}$

$⇒ΔAQE\backsimΔAEN$

$\widehat{AEQ}=\widehat{ANE}$

Mà $\widehat{ANE}=\widehat{BNM}$

$⇒\widehat{AEQ}=\widehat{BNM}$

$⇔ 180^o-\widehat{SEC}=180^o-\widehat{ANB}$

$⇒ \widehat{SEC}=\widehat{ANB}$

Do $ΔABE\backsimΔACF$

$⇒\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Xét $ΔANB$ và $ΔSEC$ có:

$\widehat{SEC}=\widehat{ANB}$

$\widehat{ABN}=\widehat{SCE}$

$⇒ΔANB\backsimΔSEC$

c) Kẻ $SS'⊥AC$

Xét $ΔSS'E$ và $ΔAEN$ có:

$\widehat{SS'E}=\widehat{AEN}=90^o$

$\widehat{SES'}=\widehat{ANE}$

$⇒ ΔSS'E\backsimΔAEN$

$⇒\frac{AE}{SS'}=\frac{NB}{EC} =\frac{NE}{ES'}$

$\begin{cases}SS'=\frac{AE.EC}{NB}\\ES'=\frac{NE.EC}{NB} \end{cases}$

Do $\widehat{SEC}=\widehat{ANB}>90^o$ $⇒S'∈$ tia đối $EC$

Có: $\frac{AE}{AC}=\frac{NE}{KC}=\frac{NE}{BN}$

$⇒ AE=\frac{AC.EN}{NB}$ 

Do $AE>EC ⇒\frac{AC.EN}{NB}>\frac{EC.EN}{NB}⇔AE>ES'$ 

$⇒AS'=AE-ES'= \frac{AE.NB-EC.EN}{NB} =\frac{AC.EN-EC.EN}{NB}=\frac{NE.AE}{NB}$

Ta có:

$\frac{SS'}{AS'}=\frac{\frac{AE.EC}{NB}}{\frac{NE.AE}{NB}} = \frac{EC}{EN}$

$⇔ \frac{SS'}{EC} = \frac{AS'}{EN}$

Xét $ΔSS'A$ và $ΔCEN$ có:

$\widehat{SS'A}=\widehat{CEN}=90^o$

$\frac{SS'}{EC} = \frac{AS'}{EN}$

$⇒ ΔSS'A\backsimΔCEN$

$⇒\widehat{S'AS}=\widehat{CNE}$

Gọi giao của $SA$ và $CN$ là $P$

Xét $ΔAPC$ có:

$\widehat{APC}+\widehat{PAC}+\widehat{ACP}=180^o$

$⇔ \widehat{APC}+\widehat{S'AS}+\widehat{ECN}=180^o$

$⇔ \widehat{APC}+\widehat{CNE}+\widehat{ECN}=180^o$

$⇔ \widehat{APC}+180^o-\widehat{NEC}=180^o$

$⇔ \widehat{APC}+90^o=180^o$

$⇒\widehat{APC}=90^o$

Hay $NC⊥SA$ tại $P$

@tuan789