Áp dụng BĐT cauchy với `2` số `(a+b)^2` và `(a+b)/2`, ta có:

`(a+b)^2+(a+b)/2>=2\sqrt{(a+b)^2 . (a+b)/2}=(a+b)\sqrt{2(a+b)}`

Áp dụng BĐT bunhiacopskia với `2` bộ số `(\sqrt{a};1);(\sqrt{b};1)`, ta có:

`(\sqrt{a}.1+\sqrt{b}.1)^2≤(1^2+1^2).(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2)`

`=>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2<=2\sqrt{a+b}`

`=>\sqrt{a}+\sqrt{b}<=\sqrt{2(a+b)}`

Mà `a+b>=2\sqrt{ab}` (bđt cauchy với `2` số `a;b)`

`=>2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})<=(a+b)\sqrt{2(a+b)}`

Mà `(a+b)^2+(a+b)/2>=(a+b)\sqrt{2(a+b)}`

`=>(a+b)^2+(a+b)/2>=2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})`

`=>(a+b)^2+(a+b)/2>=2a\sqrt{b}+2\sqrt{a}b` (đpcm)