Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a)`

Để `P` xác định khi và chỉ khi:

`x\ge0` và `x\sqrt{x}-1\ne0` và `x-1\ne0` và `2x+\sqrt{x}-1\ne0` và `2\sqrt{x}-1\ne0`

`x\ge0` và `(\sqrt{x})^{3}\ne1^{3}` và `x\ne1` và `2x+\sqrt{x}-1\ne0` và `\sqrt{x}\ne 1/2`

`x\ge0` và `\sqrt{x}\ne1` và `x\ne1` và `2x+2\sqrt{x}-\sqrt{x}-1\ne0` và `x\ne (1/2)^{2}`

`x\ge0` và `x\ne1` và `x\ne1` và `(2\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1)\ne0` và `x\ne 1/4`

`x\ge0` và `x\ne1` và `x\ne 1/4` và `2\sqrt[x}-1\ne0` và `\sqrt{x}+1\ne0` (Luôn đúng)

`x\ge0` và `x\ne1` và `x\ne 1/4` 

Vậy `x\ge0;x\ne1;x\ne 1/4` để `P` xác định

(*)

Rút gọn `P:`

`P=((2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x})/(x\sqrt{x}-1)-(x+\sqrt{x})/(x-1)).(x-1)/(2x+\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`( đ k : x\ge0;x\ne1;x\ne 1/4)`

`=[(2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}/((\sqrt{x})^{3}-1^{3})-(\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1))/((\sqrt{x})^{2}-1^{2})].((\sqrt{x})^{2}-1^{2})/(2x+2\sqrt{x}-\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`=[(2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x})/((\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))-(\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1))/((\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))].[((\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))/(2\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)-1.(\sqrt{x}+1))]+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`=[(2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x})/((\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))-(\sqrt{x})/(\sqrt{x}-1)].[((\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))/(2\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)-1.(\sqrt{x}+1))]+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`=[(2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x})/((\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))-(\sqrt{x}.(x+\sqrt{x}+1))/((\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))].((\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))/((2\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`=((2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}).(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))/((\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1).(2\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1))+(\sqrt{x})/(2\sqrt{x}-1)`

`=(x\sqrt{x}-2\sqrt{x})/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))+(\sqrt{x}.(x+\sqrt{x}+1))/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1)`

`=(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+x\sqrt{x}+x+\sqrt{x})/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))`

`=(2x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x)/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))`

`=(x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x\sqrt{x}+x)/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))`

`=(\sqrt{x}.[(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1)]+x.(\sqrt{x}+1))/((2\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+x+1))`

`=(\sqrt{x}.(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1)+\sqrt{x}.\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1))/((2\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+x+1))`

`=(\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1).(\sqrt{x}-1+\sqrt{x}))/((2\sqrt{x}-1).(x+\sqrt{x}+1))`

`=(x+\sqrt{x})/(x+\sqrt{x}+1)`

Vậy `P=(x+\sqrt{x})/(x+\sqrt{x}+1)` với  `x\ge0;x\ne 1;x\ne 1/4`

`b)` Ta xét:

`P=(x+\sqrt{x})/(x+\sqrt{x}+1)` `( đ k : x\ge0;x\ne1;x\ne 1/4)`

`=(x+\sqrt{x}+1-1)/(x+\sqrt{x}+1)`

`=1-(1)/(x+\sqrt{x}+1)`

Ta xét: Do `x\ge0`

`->x+\sqrt{x}+1\ge1AAx`

`->(-1)/(x+\sqrt{x}+1)\ge -1/1AAx`

`->1-(1)/(x+\sqrt{x}+1)\ge 1-1=0AAx`

`->P\ge0`

`->P_{min}=0`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: `\sqrt{x}=0->x=0(tmđk)`

Vậy `P_{min}=0` khi `x=0`