`a)` 

Xét tứ giác `BHCI` có:

+ `K` là trung điểm `BC` $(\text{gt})$

+  `K` là trung điểm `HI` (do `I` đối xứng với `H` qua `K`)

+ `BC` cắt `HI` tại `K`

`=> BHCI` là hình bình hành $(\text{DHNB})$

`b)` 

Xét tứ giác `AECI` có:

+ `H` là trung điểm `AC` $(\text{gt})$

+ `H` là trung điểm `EI` (do `E` đối xứng với `I` qua `H`)

+ `AC` cắt `EI` tại `H`

`=> AECI` là hình bình hành $(\text{DHNB})$

Xét `\Delta ABC` có:

+ `H` là trung điểm `AC` $(\text{gt})$

+ `K` là trung điểm `BC` $(\text{gt})$

`=> HK` là đường trung bình của `\Delta ABC`

`=> HK //// AB`

mà `AB \bot AC` tại `A` (do `\Delta ABC` vuông tại `A`)

`=> HK \bot AC`

mà `H`, `K` `\in EI`

`=> EI \bot AC` tại `H`

mà `AECI` là hình bình hành $(\text{cmt})$

`=> AECI` là hình thoi $(\text{DHNB})$

`c)`

Vì `BHCI` là hình bình hành $(\text{cmt - a})$

`=> HC //// IB` và `HC = IB` `(1)`

Do `H` là trung điểm `AC` $(\text{gt})$

`=> AH = HC` và `A`, `H`, `C` thẳng hàng `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> AH //// IB` và `AH = IB`

`=> AHIB` là hình bình hành $(\text{DHNB})$

mà `AI` cắt `BH` tại `O`

`=> O` là trung điểm `AI` và `BH`

`=> AO = OI = (1)/(2)AI`

`=> AI = 2 . AO \text{ (3)}`

Kẻ `HN //// AM` `(N \in BC)`

Xét `\Delta ACM` có:

+ `H` là trung điểm `AC`

+ `HN //// AM`

`=> HN` là đường trung bình của `\Delta ACM`

`=> HN = (1)/(2)AM`

Xét `\Delta BHN` có:

+ `O` là trung điểm `BH`

+ `OM //// HN` (do `AI //// HN`; `M \in AI`)

`=> OM` là đường trung bình của `\Delta BHN`

`=> OM = (1)/(2)HN`

`=> OM = (1)/(2) . ((1)/(2)AM) = (1)/(4)AM`

`=> AM = 4 . OM`

Ta có: `AO = AM - OM`

`AO = 4 . OM - OM = 3 . OM` `(4)`

Thay `(4)` vào `(3)`

`=> AI = 2 . AO = 2 . (3 . OM) = 6 . OM`

mà `EC = AI` (do `AECI` là hình thoi)

`=> EC = 6 . MO` (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$