a)

Ta có `triangle BFC` vuông tại `F` nên `triangle BFC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

Ta có `triangle BEC` vuông tại `E` nên `triangle BEC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

Vậy, tứ giác `BFEC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC` (đpcm)

Ta có `triangle AFH` vuông tại `F` nên `triangle AFH` nội tiếp đường tròn đường kính `AH`

Ta có `triangle AEH` vuông tại `E` nên `triangle AEH` nội tiếp đường tròn đường kính `AH`

Vậy, tứ giác `AFHE` nội tiếp đường tròn đường kính `AH` (đpcm)

b)

Xét `(O)` có `hat(ABK) = 90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên `BK  bot AB` tại `B`

Lại có `CF bot AB` tại `F` nên `BK` $\parallel$ `CF` hay `BK` $\parallel$ `HC`

Xét `(O)` có `hat(ACK) = 90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên `CK bot AC` tại `C`

Lại có `BE bot AC` tại `E` nên `BE` $\parallel$ `CK` hay `BH` $\parallel$ `CK`

Xét tứ giác `BHCK` có `BK` $\parallel$ `HC` và `BH` $\parallel$ `CK` nên `BHCK` là hình bình hành (đpcm)

c)

DC.DB = DH.DA => DC/DA = DH/DB

Xét `triangle DAC` vuông tại `D` và `triangle EAH` vuông tại `E` có `hat(DAC)` là góc chung nên `triangle DAC` $\sim$ `triangle EAH` (g-g)

Xét `triangle EAH` vuông tại `E` và `triangle DBH` vuông tại `D` có `hat(EHA) = hat(DHB)` (hai góc đối đỉnh) nên `triangle EAH` $\sim$ `triangle DBH` (g-g)

Do đó: `triangle DAC` $\sim$ `triangle DBH`

Suy ra `(DA)/(DB) = (DC)/(DH)`

Vậy, `DC.DB = DH.DA` (đpcm)

d)

Xét `triangle AEB` vuông tại `E` và `triangle AFC` vuông tại `F` có `hat(BAC)` là góc chung

Suy ra `triangle AEB` $\sim$ `triangle AFC` (g-g)

Do đó: `(AE)/(AF) = (AB)/(AC)` nên `(AE)/(AB) = (AF)/(AC)`

Vậy, `AF . AB = AE . AC` (đpcm)