`a)` 

Xét `\Delta ABD` và `\Delta EBD` có:

+ `AB = BE` `(\text{gt})`

+ `\hat{ABD} = \hat{EBD}` (do `BD` là tia phân giác của `\hat{ABC}`)

+ `BD` chung

`=> \Delta ABD = \Delta EBD` (c-g-c)

`=> \hat{BED} = \hat{BAD}`

mà `\hat{BAD} = 90^o` (do `\Delta ABC` vuông tại `A`)

`=> \hat{BED} = 90^o`

`=> DE \bot BC` tại `E` (đpcm)

 

`b)`

`1.` 

Có: `\hat{DAI} = \hat{DEC} = 90^o` (do `I \in AB` và `DE \bot BC` tại `E`)

Xét `\Delta ADI` và `\Delta EDC` có:

+ `\hat{DAI} = \hat{DEC} = 90^o`

+ `AD = ED` (do `\Delta ABD = \Delta EBD`)

+ `\hat{ADI} = \hat{EDC}` (`2` góc đối đỉnh)

`=> \Delta ADI = \Delta EDC` (g-c-g)

Vì `\Delta ADI = \Delta EDC` `(\text{cmt})`

`=> AI = EC` 

Ta có:

+ `BI = BA + AI` (do `A \in BI`)

+ `BC = BE + EC` (do `E \in BC`)

+ `BA = BE` `(\text{gt})`; `AI = EC` `(\text{cmt})`

`=> BI = BC`

Xét `\Delta ABC` và `\Delta EBI` có:

+ `\hat{BAC} = \hat{BEI} = 90^o`

+ `AB = EB` `(\text{gt})`

+ `\hat{ABC}` chung

`=> \Delta ABC = \Delta EBI` (g-c-g)

`2.` 

Xét `\Delta BAE` có: `BA = BE` `(\text{gt})`

`=> \Delta BAE` cân tại `B`

`=> \hat{BAE} = (180^o - \hat{ABC})/(2)` `(1)`

Xét `\Delta BIC` có: `BI = BC` `(\text{cmt - b1})`

`=> \Delta BIC` cân tại `B`

`=> \hat{BIC} = (180^o - \hat{ABC})/(2)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> \hat{BAE} = \hat{BIC}`

mà `2` góc này ở vị trí đồng vị

`=> AE //// IC` (đpcm)

`3.` 

Xét `\Delta BIQ` và `\Delta BCQ` có:

+ `BI = BC` `(\text{cmt})`

+ `BQ` chung

+ `IQ = CQ` (do `Q` là trung điểm `CI`)

`=> \Delta BIQ = \Delta BCQ` (c-c-c)

`=> \hat{IBQ} = \hat{CBQ}`

`=> BQ` là tia phân giác của `\hat{IBC}`

mà `BD` là tia phân giác của `\hat{IBC}` `(\text{gt})`

`=> BQ` trùng `BD`

`=> B, D, Q` thẳng hàng (đpcm)

`c)`

Ta có: `I` là giao điểm của `ED` và `AB` $(\text{gt})$

`=> E, D, I` thẳng hàng (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$