Giải thích các bước giải:

Bài 4:

Đặt $A$ là vị trí của người quan sát

$B$ là vị trí đỉnh tháp truyền hình

$C$ là hình chiếu của mắt lên thân tháp

$D$ là chân tháp truyền hình trên mặt đất

Khi đó $\triangle ABC$ vuông tại $C$ có:

$BC = AC . \tan (42^{\circ}) = 30 . \tan (42^{\circ}) \approx 27,01m$

Coi chiều cao toàn bộ của tháp truyền hình là $H$

$\Rightarrow H = 27,01 + 1,6 = 28,61m$

Bài 5:

$a)$ Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ nên $AB \perp OB \Rightarrow \widehat{ABO} = 90^{\circ}$

Do $I$ là trung điểm của dây cung $MN$ không đi qua tâm $O$ theo tính chất đường kính và dây cung ta có: $OI \perp MN$ tại $I \Rightarrow \widehat{AIO} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác $ABOI$ ta có: $\widehat{ABO} = \widehat{AIO} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác $ABOI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$b)$ Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ANB$ ta có:

$\widehat{BAN}$ chung

$\widehat{ABM} = \widehat{ANB}$

$\Rightarrow \triangle ABM \sim \triangle ANB$ (g.g) 

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AN} = \dfrac{AM}{AB} \Rightarrow AB^{2} = AM . AN$ (đpcm)

$c)$ Ta có $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OB = OC = R$

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$ 

Do đó, $AO \perp BC$ tại $H$

Xét $\triangle ABO$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao ($BC \perp AO$) 

Hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $AB^{2} = AH . AO$

Mặt khác từ $b)$ ta được $AB^{2} = AM . AN$ nên

Theo tính chất bắc cầu qua $AB^{2}$ ta ra được $AH . AO = AM . AN$