Đáp án + Giải thích các bước giải:

Giả sử $y = x^3 - 8x^2 + \left(m^2 + 11\right)x - 2m^2 + 2$ đạt cực trị tại $x = x_1$ và $x = x_2 > x_1$

$\Rightarrow y(x_1) \cdot y(x_2) < 0$

Do $y$ có dạng $ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a = 1 > 0$

$\Rightarrow \begin {cases} \lim \limits_{x \to -\infty} y = -\infty \\ \lim \limits_{x \to +\infty} y = +\infty \end {cases} (1)$

$\Rightarrow$ Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y$ có hoành độ $x_1$ và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y$ có hoành độ $x_2$

$\Rightarrow y(x_1) > y(x_2)$

Mà $y(x_1) \cdot y(x_2) < 0$

$\Rightarrow \begin {cases} y(x_1) > 0 \\ y(x_2) < 0 \end {cases} (2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow y$ có $3$ nghiệm phân biệt với hoành độ lần lượt thuộc các khoảng $(-\infty; x_1), [x_1; x_2], (x_2; +\infty)$

Lúc này ta có:

$y = x^3 - 8x^2 + \left(m^2 + 11\right)x - 2m^2 + 2$

$\phantom{y }= x^3 - 8x^2 + m^2x + 11x - 2m^2 + 2$

$\phantom{y }= x^3 - 8x^2 +11x + 2 + m^2x - 2m^2$

$\phantom{y }= x^3 - 2x^2 - 6x^2 + 12x - x + 2 + m^2(x - 2)$

$\phantom{y }= x^2(x- 2) - 6x(x - 2) - (x - 2) + m^2(x - 2)$

$\phantom{y }= \left(x^2 - 6x + m^2 - 1\right)(x - 2)$

$y = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x^2 - 6x + m^2 - 1 = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\ x^2 - 6x + m^2 - 1 = 0 \end{array}\right.$

Để $y$ có $3$ nghiệm phân biệt thì $x^2 - 6x + m^2 - 1 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $2$

$\Rightarrow \begin {cases} \Delta = (-6)^2 - 4\left(m^2 - 1\right) > 0 \\ 2^2 - 6 \cdot 2 + m^2 - 1 \ne 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 40 - 4m^2 > 0 \\ m^2 - 9 \ne 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} -\sqrt{10} < m < \sqrt{10} \\ m \ne \pm 3 \end {cases}$

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-2; -1; 0; 1; 2\}$

Vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài

$\Rightarrow \textbf{B}$