Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

1) Chứng minh $AC + BD = CD$

Ta có 

$CM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$\rightarrow$ $CA = CM$

$\rightarrow$ $OC$ là tia phân giác $\widehat{AOM}$

Chứng minh tương tự ta có $DM$,$DB$ là tiếp tuyến $(O)$

$\rightarrow$ $DM = DB$

$\rightarrow$ $OD$ là tia phân giác $\widehat{BOM}$, 

Ta có: $CM + MD = CD$ 

$\rightarrow$ $AC + BD = CD$ $(đpcm)$

1 ) Chứng minh $\widehat{COD}$ = $90^\circ$

Vì $OC$ là tia phân giác $\widehat{AOM}$ $( cmt )$

Nên $\widehat{AOC}$ = $\widehat{MOC}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\widehat{AOM}$

Vì $OD$ là tia phân giác $\widehat{BOM}$ $( cmt )$

$\rightarrow$ $\widehat{MOD}$ = $\widehat{BOD}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\widehat{BOM}$

Ta có: $\widehat{AOM}$ và 

$\widehat{MOB}$ là 2 góc kề bù 

$\rightarrow$ $\widehat{AOM}$ $+$ $\widehat{BOM}$ = $180^\circ$

Ta có: $\widehat{COD}$ = $\widehat{COM}$ $+$ $\widehat{MOD}$ 

$\rightarrow$ $\widehat{COD}$ = $\dfrac{1}{2}$ . $\widehat{AOM}$ $+$ $\dfrac{1}{2}$ . $\widehat{BOM}$

$\rightarrow$ $\widehat{COD}$ = $\dfrac{1}{2}$ ( $\widehat{AOM}$ $+$ $\widehat{BOM}$ )

$\rightarrow$ $\widehat{COD}$ = $\dfrac{1}{2}$ . $180^\circ$ = $90^\circ$

Nên $\widehat{COD}$ = $90^\circ$

2) Chứng minh $AC . BD =$ $\dfrac{AB²}{4}$

Ta có: 

$\widehat{MOC}$ $+$ $\widehat{MOD}$ $=$ $90^\circ$ ( $\widehat{COD}$ $=90^\circ$ )

$\widehat{MDO}$ $+$ $\widehat{MOD}$ $= 90^\circ$ ( $MO$ là tiếp tuyến của đường tròn )

$\rightarrow$ $\widehat{MOC}$ $=$ $\widehat{MDO}$

Xét $\Delta$ $MOC$ và $\Delta$ $MDO$ có

$\widehat{MOC}$ $=$ $\widehat{MDO}$ $( cmt )$

$\widehat{OMC}$ = $\widehat{DMO}$ = $90^\circ$

$\rightarrow$ $MOC$ $\backsim$ $MDO$ $( g.g )$

$\rightarrow$ $\dfrac{MO}{MD}$ = $\dfrac{MC}{MO}$

Nên $OM² = MD .MC$

Mà $OM = R$ ( $OM$ là bán kính )

$\rightarrow$ $R² = MD . MC$

Ta có: $MC = AC$ và $MD = BD$

Nên $R² = AC .BD (1)$

Ta có: $AB = 2R$ ( $AB$ là đường kính )

$\rightarrow$ $AB² = 4R² (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AB² = 4. AC .BD$

Nên $AC . BD =$ $\dfrac{AB²}{4}$ $(đpcm)$

3) Chứng minh $CO // MB$

Ta có: $\widehat{AMB}$ $ = 90^\circ$ ( góc nội tiếp chắn $\dfrac{1}{2}$ đường tròn đường kính $AB$)

$\rightarrow$ $AM$ $\bot$ $MB$ tại $M$

Ta có : $CM = CA$ ( tính chất $2$ tiếp tuyến cắt nhau )  

$OM = OA = R$

$\rightarrow$ $CO$ là đường trung trực $AM$.

$\rightarrow$ $CO$ $\bot$ $AM$

Ta có: 

$CO$ $\bot$ $AM$  

$MB$ $\bot$ $AM$

Nên $CO // MB$.

4) Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DC$

Gọi $K$ là trung điểm $CD$.

Vì $CA$ $\bot$ $AB$ và $DB$ $\bot$ $AB$ nên CA // BD

Xét tứ giác $ABDC$ có $AC // BD$

Nên tứ giác $ABDC$ là hình thang.

Xét hình thang $ABDC$ có

$K$ là trung điểm $CD$ 

$O$ là trung điểm $AB$.

Nên $KO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$.

$\rightarrow$ $KO // AC // BD$

Nên $KO$ $\bot$ $AB$ tại $O$

$\rightarrow$ $KO$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$.

5) Chứng minh $MN$ $\bot$ $AB$ tại $H$

Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $AB$.

Xét $\Delta$ $ANC$ và $\Delta$ $DNB$ có $AC // BD$

$\rightarrow$ $\dfrac{AN}{ND}$ = $\dfrac{AC}{DB}$ ( Định lý Thales )

Mà $AC = MC$ và $MD = BD$

Nên $\dfrac{AN}{ND}$ = $\dfrac{AC}{DB}$ = $\dfrac{MC}{MD}$

Ta có: $\dfrac{AC}{DB}$ = $\dfrac{MC}{MD}$ ( Định lý Thales đảo )

$\rightarrow$ $MN // AC$

Ta có:

$MN // AC$ $( cmt )$

$AC$ $\bot$ $AB$ ( $xA$ là tiếp tuyến đường tròn )

Nên $MN$ $\bot$ $AB$ tại $H$

$\color{#1AD5F7}{⋆⟡}\color{#4DA6E6}{}\color{#668EDD}{}\color{#8077D5}{}\color{#995FCD}{SenjiKawaragi}\color{#CC2FBC}{}\color{#4DA6E6}{}\color{#EA2F90}{ ⋆⟡ }$