`a)` 

`1.`

Xét tứ giác `BFEC` có:

+ `\hat{BEC} = 90^o` (do `BE \bot AC` tại `E`)

+ `\hat{BFC} = 90^o` (do `CF \bot AB` tại `F`)

`=> \hat{BEC} = \hat{BFC} = 90^o` 

`=> BFEC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC` (`2` góc `=` nhau cùng nhìn cạnh `BC`)

 `2.`

Xét tứ giác `AFHE` có:

+ `\hat{AEH} = 90^o` (do `BE \bot AC` tại `E`)

+ `\hat{AFH} = 90^o` (do `CF \bot AB` tại `F`)

`=> \hat{AEH} + \hat{AFH} = 90^o + 90^o = 180^o`

`=> AFHE` nội tiếp đường tròn đường kính `AH` (tổng `2` góc đối)

 

`b)` 

Vì `AK` là đường kính của `(O)` nên:

+ `\hat{ABK} = 90^o` (gnt chắn nửa đg tròn) `=> BK \bot AB`

+ `\hat{ACK} = 90^o` (gnt chắn nửa đg tròn) `=> CK \bot AC`

Tự CM: `H` là trực tâm `\Delta ABC` nên:

+ `CH \bot AB` (do `CF` là đường cao)

`=> CH //// BK` (cùng `\bot AB`) `(1)`

+ `BH \bot AC` (do `BE` là đường cao)

`=> BH //// CK` (cùng `\bot AC`) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> BHCK` là hình bình hành $(\text{DHNB})$

 

`c)` 

Xét `\Delta ADC` và `\Delta BDH` có:

+ `\hat{ADC} = \hat{BDH} = 90^o` (do `AD \bot BC`)

+ `\hat{CAD} = \hat{HBD}` (cùng phụ với `\hat{ACB}`)

`=> \Delta ADC` $\sim$ `\Delta BDH` (g.g)

`=> (DA)/(DB) = (DC)/(DH)` 

`=> DC . DB = DH . DA` (đpcm)

 

`d)` 

Xét `\Delta AFC` và `\Delta AEB` có:

+ `\hat{BAC}` chung

+ `\hat{AFC} = \hat{AEB} = 90^o` (do `CF \bot AB`; `BE \bot AC`)

`=> \Delta AFC` $\sim$ `\Delta AEB` (g.g)

`=> (AF)/(AE) = (AC)/(AB)`

`=> AF . AB = AE . AC` (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$