*Giải:

`a)` Gọi các điểm của hình thang đó là hình thang `ABCD` với `AC=12` `cm` và `BD=9` `cm`

Từ điểm `B` vẽ `BE``/``/``AC` cắt `DC` tại `E`

Xét tứ giác `ABEC,` có: 

`·AB``/``/``CE`

`·AC``/``/``BE`

nên tứ giác `ABEC` là hình bình hành suy ra `AC=BE=12` `cm`

Ta có: `AB=CE (ABEC` là hình bình hành)

nên `AB+DC=DC+CE=DE=15`

Qua `ΔDBE` kẻ đường cao `EO,BH`

Xét `ΔEBO` vuông tại `O,` có: `EB^2=OB^2+OE^2` (định lý Pythagore)

nên `BE^2-OE^2=OB^2`

Xét `ΔDOE` vuông tại `O,` có: `DE^2=OD^2+OE^2`

Xét `ΔDOE` vuông tại `O,` có: `cos(BDC)=cos(ODE)=(OD)/(DE)`

Giả sử: `BE^2=DB^2+DE^2-2cos(BDC).DB.DE (1)`

nên `BE^2=DB^2+OD^2+OE^2-2(OD)/(DE).DE.DB`

suy ra `BE^2-OE^2=OD^2-2OD.DB+DB^2`

nên `OB^2=(DB-OD)^2` hay `OB^2=OB^2` (luôn đúng)

suy ra đẳng thức `(1)` đúng

nên `12^2=9^2+15^2-2cos(hat{BDE}).9.15`

suy ra `6/5=2cos(hat{BDE})` nên `cos(hat{BDE})=3/5`

Xét `ΔDHB` vuông tại `H,` có: `cos(hat{BDE})=cos(hat{BDH})=(HD)/(DB)`

suy ra `3/5=(HD)/9` nên `HD=5,4` `cm`

Xét `ΔDHB` vuông tại `H,` có: `DB^2=BH^2+DH^2` (định lý Pythagore)

nên `BH^2=9^2-5,4^2=51,84` suy ra `BH=√51,84=7,2cm`

Diện tích hình thang `ABCD` là: `(AB+DC).BH:2=15.7,2:2=54` `cm^2`

`b)` Ta có: `·AB+DE=DC+CE=DE=16` `cm`

 Áp dụng đẳng thức `(1),` ta được:

`12^2=16^2+9^2-2cos(hat{BDC}).16.9`

suy ra `cos(hat{BDE})=193/288`

Xét `ΔBHD` vuông tại `H,` có: `cos(hat{BDE})=cos(hat{BDH})=(DH)/(DB)`

nên `193/288=(DH)/9 suy ra DH=193/32`

Xét `ΔDBH` vuông tại `H,` có:

`DB^2=DH^2+BH^2` (định lý Pythagore)

suy ra `BH^2=DB^2-DH^2=9^2-(193/32)^2`

hay `BH^2=√9^2-(193/32)^2cm`

Diện tích hình thang `ABCD:`

`(AB+DC).BH:2=16.[√9^2-(193/32)^2]:2≈53,44cm^2`

#Funny12345

Hoidap247